Перепишите следующие тождества: а) Докажите эквивалентность выражений x & (y v z) и (x & y) v (x & z); б) Докажите

а) Для доказательства эквивалентности выражений \(x \land (y \lor z)\) и \((x \land y) \lor (x \land z)\), необходимо показать, что они имеют одинаковые значения при любых значениях переменных \(x\), \(y\) и \(z\).

Для начала, давайте рассмотрим таблицы истинности для обоих выражений:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & y & z & y \lor z & x \land (y \lor z) & x \land y & x \land z & (x \land y) \lor (x \land z) \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы истинности видно, что значения столбцов соответствуют. Это означает, что выражения \(x \land (y \lor z)\) и \((x \land y) \lor (x \land z)\) имеют одинаковые значения при всех возможных значениях переменных \(x\), \(y\) и \(z\). Следовательно, они эквивалентны.

б) Для доказательства эквивалентности выражений \(x \lor y\) и \(x\), необходимо показать, что они имеют одинаковые значения при любых значениях переменных \(x\) и \(y\).

Снова рассмотрим таблицу истинности для обоих выражений:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x & y & x \lor y \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы истинности видно, что значения столбцов соответствуют. Это означает, что выражения \(x \lor y\) и \(x\) имеют одинаковые значения при всех возможных значениях переменных \(x\) и \(y\). Следовательно, они эквивалентны.