1. При использовании классического определения вероятности, какова вероятность того, что из 7 наудачу выбранных шурупов

1. Для решения этой задачи нам понадобится воспользоваться классическим определением вероятности.

Имеется набор из 15 шурупов с правой резьбой и 10 шурупов с левой резьбой. Нам нужно выяснить вероятность того, что из 7 наудачу выбранных шурупов окажется ровно 3 с правой резьбой.

Всего способов выбрать 7 шурупов из этого набора равно количеству сочетаний из 25 по 7 (обозначается как C(25, 7)) и может быть вычислено следующим образом:

\[C(25, 7) = \frac{{25!}}{{7! \cdot (25 - 7)!}} = 480.700\]

Теперь нам нужно вычислить число успешных исходов, то есть количество способов выбрать 3 шурупа с правой резьбой и 4 шурупа с левой резьбой. Количество способов выбрать 3 шурупа с правой резьбой из 15 составляет C(15, 3), а количество способов выбрать 4 шурупа с левой резьбой из 10 составляет C(10, 4). Поэтому число успешных исходов равно:

\[C(15, 3) \cdot C(10, 4) = \frac{{15!}}{{3! \cdot (15 - 3)!}} \cdot \frac{{10!}}{{4! \cdot (10 - 4)!}} = 13.230\]

Затем мы можем вычислить вероятность события, разделив число успешных исходов на общее количество исходов:

\[P = \frac{{\text{число успешных исходов}}}{{\text{общее количество исходов}}} = \frac{{13.230}}{{480.700}} \approx 0.0275\]

Таким образом, вероятность того, что из 7 наудачу выбранных шурупов окажется ровно 3 шурупа с правой резьбой, составляет около 0.0275 или примерно 2.75%.

2. Для решения этой задачи мы воспользуемся теоремой сложения и умножения вероятностей.

Имеется ящик с 8 зелеными и 4 синими шарами. Нам нужно выяснить вероятность того, что при извлечении 6 шаров из ящика количество зеленых шаров в выборке будет больше количества синих шаров не менее чем на два.

Для начала рассмотрим случай, когда извлекаются ровно 2 синих шара. Вероятность одновременного извлечения 2 синих шаров из 4 составляет:

\[P(\text{2 синих}) = \frac{{C(4, 2)}}{{C(12, 6)}} = \frac{{6}}{{924}} \approx 0.0065\]

Теперь мы рассмотрим случай, когда извлекается ровно 1 синий шар. Вероятность одновременного извлечения 1 синего шара из 4 и 5 зеленых шаров из 8 составляет:

\[P(\text{1 синий}) = \frac{{C(4, 1) \cdot C(8, 5)}}{{C(12, 6)}} = \frac{{32}}{{924}} \approx 0.0346\]

Таким образом, сумма вероятностей наличия 2 или 1 синего шара равна:

\[P(\geq 2 \text{ синих}) = P(\text{2 синих}) + P(\text{1 синий}) \approx 0.0065 + 0.0346 = 0.0411\]

Однако, нам также нужно учесть случай, когда извлекается ровно 0 синих шаров, но количество зеленых шаров в выборке все равно больше количества синих шаров на два или больше.

Вероятность одновременного извлечения 6 зеленых шаров из 8 и 0 синих шаров из 4 составляет:

\[P(\text{6 зеленых}) = \frac{{C(8, 6) \cdot C(4, 0)}}{{C(12, 6)}} = \frac{{28}}{{924}} \approx 0.0303\]

Затем мы можем вычислить общую вероятность, объединив эти три случая:

\[P = P(\geq 2 \text{ синих}) + P(\text{6 зеленых}) \approx 0.0411 + 0.0303 = 0.0714\]

Таким образом, вероятность того, что при извлечении 6 шаров из ящика количество зеленых шаров в выборке будет больше количества синих шаров не менее чем на два, составляет около 0.0714 или примерно 7.14%.

3. Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой полной вероятности и формулой Байеса.

Имеются два сигнала А и В с вероятностями 0,8 и 0,2 соответственно по линии связи. Нам нужно выяснить вероятность одновременного поступления двух сигналов, при условии, что мы знаем, что сигнал А уже принят.

Для начала рассмотрим случай, когда сигнал А уже принят. Вероятность этого события равна 0,8.

Так как наша цель - выяснить вероятность одновременного поступления двух сигналов A и B, мы можем рассмотреть два возможных варианта: 1) сигнал B принят и 2) сигнал B не принят.

1) Если сигнал B принят, то вероятность этого события равна вероятности принятия сигнала B при условии, что сигнал A уже принят. Допустим, что вероятность принятия сигнала B при условии, что сигнал A уже принят, равна 0,6.

2) Если сигнал B не принят, то вероятность этого события равна 1 минус вероятность принятия сигнала B при условии, что сигнал A уже принят. То есть, вероятность этого события равна 1 минус 0,6, то есть 0,4.

По формуле полной вероятности мы можем вычислить общую вероятность как сумму произведений вероятностей каждого варианта на вероятность события A:

\[P = P(\text{Принят Б}|\text{Принят А}) \cdot P(\text{Принят А}) + P(\text{Не принят Б}|\text{Принят А}) \cdot P(\text{Принят А})\]

\[P = 0,6 \cdot 0,8 + 0,4 \cdot 0,8 = 0,48 + 0,32 = 0,8\]

Таким образом, вероятность одновременного поступления двух сигналов A и B, при условии, что мы знаем, что сигнал A уже принят, составляет 0,8 или 80%.