Pazime27_uzd.png В точках A и C находятся на равном расстоянии от вершины угла ∡ABC, BA=BC. Проведены перпендикуляры

1. Докажем равенство треугольников ΔAFD и ΔCFE.

Из условия задачи мы знаем, что точки A и C находятся на одинаковом расстоянии от вершины угла ∡ABC, а также что BA=BC. Таким образом, треугольники ΔABC и ΔCBA являются равнобедренными.

Проведем перпендикуляры AE⊥BD и CD⊥BE. Заметим, что AD и EC — это высоты треугольников ΔABC и ΔCBA, соответственно.

Поскольку треугольники ΔABC и ΔCBA равнобедренные, высоты AD и EC будут высотами, опущенными на основания BC и AB. Другими словами, высоты перпендикулярны основаниям треугольников.

Таким образом, мы можем заключить, что треугольники ΔBDE и ΔABD являются подобными треугольниками, так как они имеют общий острый угол и стороны, пропорциональные (по свойству подобных треугольников).

Отсюда следует, что соотношение сторон треугольников будет: \(\frac{{BD}}{{DE}} = \frac{{AD}}{{BD}}\). Приведя это к более удобному виду, получим: \(BD^2 = AD \cdot DE\).

Рассмотрим теперь треугольники ΔAFD и ΔCFE. Из условия задачи известно, что перпендикуляры AE и CD пересекаются в точке D.

Посмотрим на верхнюю сторону этих треугольников. В треугольнике ΔAFD сторона AF равна AD, а в треугольнике ΔCFE сторона CF равна CD. Также вспомним, что BD является общей стороной для обоих треугольников.

Таким образом, у нас есть равные стороны AD=AF и CD=CF, а также равные BD для треугольников ΔAFD и ΔCFE.

Таким образом, мы можем заключить, что треугольники ΔAFD и ΔCFE являются равными по двум сторонам и общей стороне, что согласно первому признаку равенства треугольников означает их полное равенство.

2. Для определения угла пересечения перпендикуляра CD с BA нам необходимо знать значение угла AEB.

Из условия задачи мы знаем, что перпендикуляр AE пересекает BC под углом 43°. Поскольку угол AEB является вертикальным углом к углу BCE, то он будет равен 43°.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ΔAEB. Известно, что его углы AEB и ABE равны 43°, а сумма углов треугольника равна 180°.

Следовательно, угол BAE равен: \(180° - 43° - 43° = 94°\).

Наконец, чтобы определить угол пересечения перпендикуляра CD с BA, нам необходимо взять вертикальный угол к углу BAC, то есть угол ACE.

Так как треугольник ΔACE является прямоугольным, его углы ACE и AEC равны по 90°.

Таким образом, угол пересечения перпендикуляра CD с BA равен 90°.