Параллелограмм ABCD изображен на рисунке. Точка Е является симметричной точкой А относительно точки В. Покажите

что \(\overline{CE} \parallel \overline{BD}\) и \(\overline{CE} = \overline{BD}\).

Чтобы показать, что \(\overline{CE} \parallel \overline{BD}\), нам нужно показать, что углы \(\angle CEB\) и \(\angle BDA\) являются соответственно равными.

Симметричная точка А относительно точки В означает, что линия, проходящая через точки A и B, будет перпендикулярна отрезку \(\overline{CE}\). Обозначим точку пересечения этой линии с прямой, проходящей через точки C и B, как точку F.

Так как А и В симметричны, то \(\overline{AF} \perp \overline{BE}\), а также \(\overline{BF} \perp \overline{EC}\).

Теперь рассмотрим треугольники АFС и ВFC. У них одна общая сторона \(\overline{FC}\) и углы \(\angle AFC\) и \(\angle BFC\) являются прямыми углами.

Так как углы \(\angle CEB\) и \(\angle BDA\) соответственно равны углам \(\angle AFC\) и \(\angle BFC\) (они оба являются прямыми углами), то мы можем сделать вывод, что \(\overline{CE} \parallel \overline{BD}\).

Чтобы показать, что \(\overline{CE} = \overline{BD}\), нам нужно рассмотреть треугольники АBF и ВCF.

У треугольников АBF и ВCF одна общая сторона \(\overline{BF}\), сторона \(\overline{AF}\) равна стороне \(\overline{CF}\) (по соответствию сторон), и угол \(\angle BAF\) равен углу \(\angle CBF\) (они оба являются прямыми углами).

Следовательно, по стороне-стороне-стороне, треугольники АBF и ВCF равны друг другу, и, следовательно, \(\overline{CE} = \overline{BD}\).

Таким образом, мы показали, что \(\overline{CE} \parallel \overline{BD}\) и \(\overline{CE} = \overline{BD}\).