Параллельно стороне AC треугольника ABC проводится перпендикуляр, который пересекает биссектрису угла BAC в точке

Добро пожаловать! Давайте решим данную задачу пошагово.

а) Для верификации равенства \(AB \cdot 2 = BK \cdot BC\) воспользуемся теоремой о пересечении биссектрисы треугольника. Согласно этой теореме, отрезки, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону, пропорциональны длинам остальных двух сторон. То есть, мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{AB}{AK} = \frac{BC}{BK}\]

Так как мы знаем, что \(AB \cdot 2 = BK \cdot BC\), то мы можем записать:

\[\frac{AB}{AK} = \frac{AB \cdot 2}{BK}\]

Теперь, сокращая \(AB\) на обеих сторонах уравнения, получим:

\[\frac{1}{AK} = \frac{2}{BK}\]

Заметим, что \(AB\) не равно нулю, поэтому мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

\[\left( \frac{1}{AK} \right)^2 = \left( \frac{2}{BK} \right)^2\]

\[\frac{1}{AK^2} = \frac{4}{BK^2}\]

Теперь, умножив обе части уравнения на \(AK^2 \cdot BK^2\), получим:

\[BK^2 = 4 \cdot AK^2\]

Теперь нам нужно использовать факт, что \(AK\) -- это биссектриса угла \(BAC\). Зная свойства биссектрисы, мы можем использовать следующие соотношения:

\[\frac{AK}{AB} = \frac{CK}{CB}\]

Мы также знаем, что \(AB = BK + AK\). Подставим это соотношение в предыдущее:

\[\frac{AK}{BK + AK} = \frac{CK}{CB}\]

Теперь, умножим обе стороны на \(BK + AK\):

\[AK = \frac{CK}{CB} \cdot (BK + AK)\]

Раскроем скобки:

\[AK = \frac{CK}{CB} \cdot BK + \frac{CK}{CB} \cdot AK\]

Отнимем \(\frac{CK}{CB} \cdot AK\) от обеих сторон уравнения:

\[AK - \frac{CK}{CB} \cdot AK = \frac{CK}{CB} \cdot BK\]

\[AK(1 - \frac{CK}{CB}) = \frac{CK}{CB} \cdot BK\]

Теперь, делим обе части уравнения на \(1 - \frac{CK}{CB}\):

\[AK = \frac{\frac{CK}{CB} \cdot BK}{1 - \frac{CK}{CB}}\]

\[AK = \frac{BK}{\frac{CB}{CK} - 1}\]

Теперь у нас есть выражение для длины биссектрисы \(AK\), выраженное через длины сторон треугольника. Мы также знаем, что \(AB \cdot 2 = BK \cdot BC\), поэтому:

\[AB \cdot 2 = BK \cdot BC\]

Теперь мы можем выразить \(BK\) через \(AB\) и \(BC\):

\[BK = \frac{AB \cdot 2}{BC}\]

Таким образом, мы получили выражение для \(AK\) и \(BK\). Теперь мы можем подставить это в равенство и сравнить обе части:

\[\frac{BK}{\frac{CB}{CK} - 1} = \frac{AB \cdot 2}{BC}\]

Теперь продолжим, решая б):

б) У нас есть дополнительные условия: \(AB = 30\) и \(\sin C = \frac{4}{5}\). Мы знаем, что синус угла \(C\) равен отношению противоположной стороны к гипотенузе. То есть, мы можем записать следующее уравнение:

\[\sin C = \frac{BC}{AB}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{4}{5} = \frac{BC}{30}\]

Теперь, чтобы найти длину стороны \(BC\), умножим обе части уравнения на 30:

\[\frac{4}{5} \cdot 30 = BC\]

\[24 = BC\]

Таким образом, мы нашли длину стороны \(BC\), она равна 24.

Теперь мы можем подставить известные значения в предыдущее равенство:

\[\frac{BK}{\frac{CB}{CK} - 1} = \frac{30 \cdot 2}{24}\]

Теперь выразим \(\frac{CB}{CK}\) в терминах \(\sin C\):

\[\frac{CB}{CK} = \frac{1}{\sin C}\]

Теперь подставим это значение в равенство:

\[\frac{BK}{\frac{1}{\sin C} - 1} = \frac{60}{24}\]

Выразим \(\frac{1}{\sin C} - 1\) в виде общего знаменателя:

\[\frac{BK}{\frac{1 - \sin C}{\sin C}} = \frac{5}{2}\]

Теперь, чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим обе части уравнения на \(\sin C\):

\[BK = \frac{5}{2} \cdot \sin C\]

Подставим известное значение \(\sin C = \frac{4}{5}\):

\[BK = \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5}\]

Вычислим эту дробь:

\[BK = 2 \cdot 4\]

\[BK = 8\]

Таким образом, мы нашли длину отрезка \(BK\), она равна 8.

Теперь, чтобы найти длину биссектрисы \(AK\), подставим найденные значения \(BK\) и \(BC\) в наше предыдущее выражение:

\[AK = \frac{8}{\frac{24}{AK} - 1}\]

Раскроем скобки:

\[AK = \frac{8}{\frac{24 - AK}{AK}}\]

Теперь, инвертируем дробь в знаменателе, меняя местами числитель и знаменатель:

\[AK = \frac{8 \cdot AK}{24 - AK}\]

Умножим обе части уравнения на \(24 - AK\):

\(AK \cdot (24 - AK) = 8 \cdot AK\)

\(24 \cdot AK - AK^2 = 8 \cdot AK\)

Теперь, объединим все члены с \(AK\) в одну сторону:

\(AK^2 + 16 \cdot AK - 24 \cdot AK = 0\)

\(AK^2 - 8 \cdot AK = 0\)

Теперь факторизуем это уравнение:

\(AK \cdot (AK - 8) = 0\)

Из этого уравнения видно, что \(AK = 0\) или \(AK - 8 = 0\). Поскольку длина не может быть отрицательной, мы исключаем \(AK = 0\) и получаем:

\(AK = 8\)

Таким образом, мы нашли длину биссектрисы \(AK\), она равна 8.

В результате, ответ на задачу а) состоит в верификации равенства \(AB \cdot 2 = BK \cdot BC\) и в самом деле это равенство выполняется при \(AK = 8\).

Ответ на задачу б) заключается в том, что длина биссектрисы \(AK\) равна 8, при условии \(AB = 30\) и \(\sin C = \frac{4}{5}\).