Параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Плоскость α параллельна плоскости AA1B1B. Прямые DA, CB, D1A1, C1B1 продлены

Давайте решим данную задачу:

1. Векторы равной длины с \(\overrightarrow{KB}\):
Для решения этого вопроса мы сначала найдем координаты точки K. По условию, длины AK и BC равны 12 и 10 соответственно. Также мы знаем, что AB = 5. Используя эти данные, мы можем найти координаты точки K. Обозначим точку K(x, y, z), тогда:
\(AK = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 12\),
\(AB = \sqrt{(x-5)^2 + y^2 + z^2} = 5\),
\(BC = \sqrt{(x-10)^2 + y^2 + z^2} = 10\).

Мы можем решить эту систему уравнений и получить координаты точки K. Подставив их в вектор \(\overrightarrow{KB}\), мы сможем найти векторы равной длины с \(\overrightarrow{KB}\). В данном случае есть несколько векторов, удовлетворяющих условию равной длины с \(\overrightarrow{KB}\), их можно перечислить:
\(\overrightarrow{KB}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}\).

2. Векторы, равные вектору \(\overrightarrow{AB1}\):
Аналогично с предыдущим вопросом, мы сначала найдем координаты точки B1. Используя длины AB и AA1, мы можем записать следующие уравнения:
\(AB = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 5\),
\(AA1 = \sqrt{x^2 + (y-4)^2 + z^2} = 4\).

Решив эту систему уравнений, мы найдем координаты точки B1. Подставив их в вектор \(\overrightarrow{AB1}\), мы получим векторы равные вектору \(\overrightarrow{AB1}\). В данном случае есть только один такой вектор: \(\overrightarrow{AB1}\).

3. Длина векторов:
a) Для вектора \(\overrightarrow{A1B1}\):
Мы знаем длины сторон AB и AA1: AB = 5 и AA1 = 4. Подставив эти значения в формулу длины вектора \(\overrightarrow{A1B1}\), получим:
\(\overrightarrow{A1B1} = \sqrt{(x-5)^2 + (y-4)^2 + z^2}\).

b) Для вектора \(\overrightarrow{D1A1}\):
Мы знаем длины сторон AA1 и BC: AA1 = 4 и BC = 10. Подставив эти значения в формулу длины вектора \(\overrightarrow{D1A1}\), получим:
\(\overrightarrow{D1A1} = \sqrt{x^2 + (y-4)^2 + (10-z)^2}\).

c) Для вектора \(\overrightarrow{KA}\):
Мы знаем длины сторон AB и AK: AB = 5 и AK = 12. Подставив эти значения в формулу длины вектора \(\overrightarrow{KA}\), получим:
\(\overrightarrow{KA} = \sqrt{x^2 + y^2 + (z-12)^2}\).

d) Для вектора \(\overrightarrow{KL}\):
Мы знаем длину стороны KL: KL = 4. Подставив это значение в формулу длины вектора \(\overrightarrow{KL}\), получим:
\(\overrightarrow{KL} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).

Вот ответы на вопросы:
1. Векторы равной длины с \(\overrightarrow{KB}\): \(\overrightarrow{KB}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}\).
2. Векторы, равные вектору \(\overrightarrow{AB1}\): \(\overrightarrow{AB1}\).
3. Длина векторов:
a) Длина вектора \(\overrightarrow{A1B1}\) = \(\sqrt{(x-5)^2 + (y-4)^2 + z^2}\).
b) Длина вектора \(\overrightarrow{D1A1}\) = \(\sqrt{x^2 + (y-4)^2 + (10-z)^2}\).
c) Длина вектора \(\overrightarrow{KA}\) = \(\sqrt{x^2 + y^2 + (z-12)^2}\).
d) Длина вектора \(\overrightarrow{KL}\) = \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).

Будьте внимательны при решении задач и всегда проверяйте свои ответы. Удачи в учебе! Если у вас возникнут другие вопросы, не стесняйтесь задавать.