Парафразирую: 1. Четырёхугольная пирамида имеет апофему, равную 12 см, и боковое ребро длиной 13 см. Найдите длину

Задача 1:
Чтобы найти длину стороны основания четырёхугольной пирамиды, у которой апофема равна 12 см и боковое ребро длиной 13 см, воспользуемся теоремой Пифагора.

Для начала, давайте изобразим четырёхугольную пирамиду в виде треугольника, основанием которого является четырёхугольник, а высотой - отрезок, соединяющий вершину пирамиды и середину одной из сторон основания.

По заданию, апофема равна 12 см, что является высотой этого треугольника. Боковое ребро длиной 13 см является гипотенузой треугольника.

Обозначим длину стороны основания, которую мы ищем, как \(x\) см.

Применим теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
\[x^2 = 13^2 - 12^2\]
\[x^2 = 169 - 144\]
\[x^2 = 25\]
\[x = \sqrt{25}\]
\[x = 5\]

Таким образом, длина стороны основания четырёхугольной пирамиды равна 5 см.

Задача 2:
Чтобы найти высоту четырёхугольной пирамиды, у которой апофема равна 12 см и боковое ребро 13 см, воспользуемся теоремой Пифагора.

Мы знаем, что апофема является высотой этой пирамиды, а боковое ребро равно 13 см - гипотенузе прямоугольного треугольника.

Обозначим высоту пирамиды как \(h\) см.

Применим теорему Пифагора:
\[h^2 = 13^2 - 12^2\]
\[h^2 = 169 - 144\]
\[h^2 = 25\]
\[h = \sqrt{25}\]
\[h = 5\]

Таким образом, высота четырёхугольной пирамиды равна 5 см.

Задача 3:
Чтобы рассчитать полную поверхность четырёхугольной пирамиды с апофемой 12 см и боковым ребром длиной 13 см, нам понадобится найти площадь основания и площадь боковой поверхности, а затем сложить их.

Площадь основания четырёхугольной пирамиды мы не знаем. Но, мы уже рассчитали, что сторона основания равна 5 см (из задачи 1).

Площадь основания \(S_{\text{осн}}\) четырёхугольника можно найти с помощью формулы площади четырёхугольника. Надеюсь, вы знаете, как найти площадь четырёхугольника с заданными сторонами?

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность пирамиды представляет собой четыре равных равнобедренных треугольника. Для расчёта площади одного такого треугольника используется формула: площадь = полупериметр треугольника * радиус вписанной окружности треугольника.

Наши треугольники равнобедренные, так как основание пирамиды - это четырёхугольник, у которого все стороны равны (поскольку сторона основания равна 5 см). Поэтому радиус вписанной окружности равен половине диагонали основания: \(r_{\text{вп}} = \frac{5}{2}\) см.

Чтобы найти полупериметр треугольника, нам необходимо знать его сторону и высоту. Высота равна апофеме пирамиды: \(h = 12\) см. Однако, нам также нужна длина бокового ребра, которая составляет 13 см. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны треугольника: \(s = \sqrt{13^2 - 12^2}\) см.

Теперь мы можем рассчитать полупериметр треугольника: \(p = \frac{s + s + 13}{2}\) см.

Используя формулу для площади равнобедренного треугольника, получаем следующую площадь: \(S_{\text{бок}} = p \cdot r_{\text{вп}}\) см.

Теперь, чтобы получить полную поверхность пирамиды, нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности: \(S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\).

Задача 4:
Чтобы найти объём четырёхугольной пирамиды с апофемой 12 см и боковым ребром 13 см, воспользуемся формулой для объёма пирамиды.

Объём пирамиды можно вычислить по формуле:
\[V = \frac{S_{\text{осн}} \cdot h}{3}\]

Мы уже рассчитали площадь основания \(S_{\text{осн}}\) (из задачи 3), осталось найти высоту \(h\) пирамиды.

Мы знаем, что апофема является высотой пирамиды (из задачи 2), поэтому \(h = 12\) см.

Теперь можно рассчитать объём пирамиды:
\[V = \frac{S_{\text{осн}} \cdot h}{3}\]

Вычислять \(S_{\text{осн}}\) и \(V\) нужно исходя из цифровых значений \(S_{\text{осн}}\) и \(h\), полученных в задачах 3 и 4 соответственно. Таким образом, лицо пирамиды получится прямоугольником со сторонами 5 см и 12 см, и с высотой 12 см.