Опровержители утверждают, что если точка пересечения диагоналей параллелограмма не является равноудаленной от двух

Чтобы опровергнуть данное утверждение, мы можем рассмотреть пример параллелограмма, у которого точка пересечения диагоналей не является равноудаленной от двух соседних вершин, но при этом параллелограмм является прямоугольником.

Рассмотрим следующий параллелограмм ABCD:

$$\begin{array}{c}A(\text{0, 0}),\\ B(\text{6, 0}),\\ C(\text{8, 4}),\\ D(\text{2, 4})\end{array}$$

Для начала, построим этот параллелограмм:

$$\begin{array}{c}\text{ dotfill }\text{ Put A(0, 0) on graph }\text{ dotfill }\\ \\ \\ \text{ dotfill }\text{ Put B(6, 0) on graph }\text{ dotfill }\\ \\ \\ \text{ dotfill }\text{ Put C(8, 4) on graph }\text{ dotfill }\\ \\ \\ \text{ dotfill }\text{ Put D(2, 4) on graph }\text{ dotfill }\end{array}$$

Далее, проведем диагонали AC и BD:

$$\begin{array}{c}\text{ dotfill }\text{ Draw the line AC }\text{ dotfill }\\ \\ \\ \\ \text{ dotfill }\text{ Draw the line BD }\text{ dotfill }\end{array}$$

Теперь, найдем точку пересечения диагоналей. Для этого, мы можем использовать уравнения данных прямых.

Уравнение прямой AC можно найти, используя точки A(0, 0) и C(8, 4):

$$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$$

Подставляя значения, получаем:

$$y-0=\frac{4-0}{8-0}(x-0)$$
$$y=\frac{1}{2}x$$

Уравнение прямой BD можно найти, используя точки B(6, 0) и D(2, 4):

$$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$$

Подставляя значения, получаем:

$$y-0=\frac{4-0}{2-6}(x-6)$$
$$y=-\frac{1}{2}x+3$$

Теперь, найдем точку пересечения, решив систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x\\ y=-\frac{1}{2}x+3\end{array}$$

Решая данную систему уравнений, мы получаем $x=\frac{4}{3}$ и $y=\frac{2}{3}$. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелограмма AC и BD равна $(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$.

Теперь давайте проверим, является ли данный параллелограмм прямоугольником.

Для этого, мы можем рассмотреть длины сторон параллелограмма. Из координат вершин A, B, C и D можно рассчитать длины сторон и проверить их взаимное соотношение.

$$\begin{array}{rl}AB& =\sqrt{(6-0{)}^2+(0-0{)}^2}=6\\ BC& =\sqrt{(8-6{)}^2+(4-0{)}^2}=4\\ CD& =\sqrt{(2-8{)}^2+(4-4{)}^2}=6\\ DA& =\sqrt{(0-2{)}^2+(0-4{)}^2}=4\end{array}$$

Из полученных значений видно, что стороны AB и CD имеют одинаковую длину, а стороны BC и DA также имеют одинаковую длину. Это говорит о том, что противоположные стороны параллелограмма равны.

Таким образом, данный пример параллелограмма подтверждает, что точка пересечения диагоналей не обязательно должна быть равноудаленной от вершин для того, чтобы параллелограмм был прямоугольником. Поэтому утверждение опровергнуто.