Определите значения катетов, площади и радиуса описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника, если известна

Для решения данной задачи нам понадобится знание основных свойств прямоугольного треугольника и формулы для нахождения его катетов, площади и радиуса описанной окружности.

Дано: гипотенуза с = 12 и острый угол α = 60°.

Шаг 1: Найдем катеты треугольника.

Известно, что соотношение между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике определяется теоремой Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2,

где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Подставляя известные значения в формулу, получаем:

12^2 = a^2 + b^2.

144 = a^2 + b^2.

Шаг 2: Найдем значение катета a.

Далее, зная значение острого угла α, можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями для прямоугольного треугольника.

В данном случае, катет a соответствует катету, лежащему напротив угла α.

Используем соотношение тангенса:

tan(α) = a / b.

Подставляя известные значения, имеем:

tan(60°) = a / b.

√3 = a / b (так как tan(60°) = √3).

a = √3 * b.

Шаг 3: Найдем значение катета b.

Подставим найденное значение a в формулу (144 = a^2 + b^2), получаем:

144 = (√3 * b)^2 + b^2.

144 = 3b^2 + b^2.

144 = 4b^2.

b^2 = 36.

b = √36.

b = 6.

Шаг 4: Найдем площадь прямоугольного треугольника.

Площадь S прямоугольного треугольника можно вычислить, используя формулу:

S = (a * b) / 2.

Подставим найденные значения для a и b:

S = (√3 * 6) / 2.

S = 3√3.

Ответ: Катеты прямоугольного треугольника равны a = √3 * 6 и b = 6.
Площадь прямоугольного треугольника равна S = 3√3.

Шаг 5: Найдем радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника.

Радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы треугольника, то есть половине значения c.

Радиус = c / 2 = 12 / 2 = 6.

Ответ: Радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника равен 6.