Определите значение модуля максимальной скорости материальной точки, совершающей механические колебания. В первом

Для решения данной задачи рассмотрим оба случая по очереди.

1. Равнопеременное (равноускоренное или равнозамедленное) движение материальной точки:
При равнопеременном движении амплитуда \(A\) колебаний и период \(T\) связаны следующим соотношением: \(A = \frac{{v_0 \cdot T}}{{2\pi}}\), где \(v_0\) – начальная скорость точки.
Максимальная скорость точки достигается на границах колебаний, то есть в точках, где смещение от положения покоя максимально. В этих точках скорость направлена максимально и равна максимальной скорости \(v_{\text{макс}}\).
Для определения значения модуля максимальной скорости материальной точки, воспользуемся соотношением для скорости в механическом колебании: \(v = \pm A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \varphi)\), где \(\omega\) – циклическая частота, \(t\) – время, а \(\varphi\) – фаза колебаний.
На границах колебаний (\(t = 0\) и \(t = T/2\)), синус в выражении принимает значения \(\sin(0) = 0\) и \(\sin(\pi) = 0\) соответственно, и скорость становится максимальной. Подставим в формулу значения смещения \(A\) для равнопеременного движения и \(\omega = \frac{{2\pi}}{{T}}\) (выражение для циклической частоты), чтобы получить модуль максимальной скорости:
\[v_{\text{макс,равн}} = \left|\frac{{v_0 \cdot T \cdot \frac{{2\pi}}{{T}}}}{{2\pi}}\right| = \left|\frac{{v_0}}{{2}}\right|\]

2. Гармоническое движение материальной точки:
При гармоническом движении материальной точки, уравнение для скорости имеет вид: \(v = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t + \varphi)\), где \(\omega\) – циклическая частота, \(t\) – время, а \(\varphi\) – фаза колебаний.
Модуль максимальной скорости достигается в точках положения равновесия, где смещение от покоя равно нулю. В этих точках косинус в выражении принимает значение \(\cos(0) = 1\) и скорость становится максимальной. Подставим в формулу для скорости значение смещения \(A\) для гармонического движения и \(\omega = \frac{{2\pi}}{{T}}\) (выражение для циклической частоты), чтобы получить модуль максимальной скорости:
\[v_{\text{макс,гарм}} = A \cdot \omega\]

Теперь сравним полученные результаты и объясним, почему они отличаются.
В случае равнопеременного движения, модуль максимальной скорости меньше и равен \(\left|\frac{{v_0}}{{2}}\right|\), так как при равнопеременных колебаниях точка на границе колебаний имеет минимальную скорость, равную нулю.
В случае гармонического движения, модуль максимальной скорости равен \(A \cdot \omega\), так как в точке положения равновесия скорость максимальна, а значение амплитуды \(A\) остается тем же для обоих типов колебаний.
Таким образом, полученные результаты отличаются друг от друга из-за различной природы движения точки в каждом случае.