Определите значение косинуса угла между векторами m=2a-3b и n=a+2b, при условии, что |a|=2, |b|=√3, а угол между

Для начала рассмотрим вектор m = 2a - 3b и вектор n = a + 2b. Чтобы найти косинус угла между векторами m и n, нам понадобится использовать свойство скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение векторов определяется следующим образом: для двух векторов a и b, скалярное произведение обозначается как a · b и равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними. Математически, это можно записать как:

a · b = |a| * |b| * cos(θ)

где |a| и |b| - модули векторов a и b соответственно, а θ - угол между векторами a и b.

Используя это свойство, мы можем записать скалярное произведение между векторами m и n:

m · n = (2a - 3b) · (a + 2b)

Раскроем скобки и запишем выражение:

m · n = 2a · a + 2a · 2b - 3b · a - 3b · 2b

Далее, воспользуемся свойствами скалярного произведения:

a · b = |a| * |b| * cos(θ)

Теперь, у нас также есть информация о |a| и |b|. Заменим их значениями в полученном выражении:

m · n = 2 * 2 * |a|² + 2 * |a| * |b| * cos(θ) - 3 * |b| * |a| * cos(θ) - 3 * |b|²

Заметим, что у нас есть косинус угла между векторами a и b, который обозначен как cos(θ). Он пока неизвестен, но мы можем найти его, используя информацию об угле между a и b.

Дано, что угол между векторами a и b равен π/3 (или 60 градусов). Используя свойство косинуса, мы можем записать:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)

Теперь подставим это значение в наше выражение:

m · n = 2 * 2 * |a|² + 2 * |a| * |b| * ((a · b) / (|a| * |b|)) - 3 * |b| * |a| * ((a · b) / (|a| * |b|)) - 3 * |b|²

Заметим, что модули |a| и |b| могут быть подставлены в формулу:

m · n = 4 * |a|² + 2 * (a · b) - 3 * (a · b) - 3 * |b|²

Далее, нам необходимо найти значение (a · b). Воспользуемся свойством скалярного произведения:

(a · b) = |a| * |b| * cos(θ)

Подставим это значение в наше выражение:

m · n = 4 * |a|² + 2 * (|a| * |b| * cos(θ)) - 3 * (|a| * |b| * cos(θ)) - 3 * |b|²

Теперь подставим значения модулей |a| и |b|, а также угол θ:

m · n = 4 * 2² + 2 * (2 * √3 * cos(π/3)) - 3 * (2 * √3 * cos(π/3)) - 3 * (√3)²

Выполним вычисления:

m · n = 16 + 2 * (2 * √3 * 1/2) - 3 * (2 * √3 * 1/2) - 3 * 3

m · n = 16 + 2 * √3 - 3 * √3 - 9

m · n = 16 - 9 - √3

m · n = 7 - √3

Таким образом, значение косинуса угла между векторами m и n равно 7 - √3.