Определите объем и площадь поверхности фигуры, которая образуется при повороте треугольника с длинами сторон 6

После поворота треугольника вокруг оси, которая проходит через вершину треугольника, лежащую на наименьшей стороне, параллельно этой стороне, образуется конус. Для определения объема и площади поверхности этого конуса, нам понадобятся некоторые формулы.

Формула для объема конуса:
$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Формула для площади поверхности конуса:
$$S=\pi \cdot r\cdot (r+l)$$

Здесь:
$V$ - объем конуса,
$S$ - площадь поверхности конуса,
$r$ - радиус основания конуса,
$h$ - высота конуса,
$l$ - образующая конуса.

Для нашей задачи, основанием является треугольник, а высотой будет являться наибольшая сторона треугольника (29 см). Радиус основания можно определить, используя формулу радиуса окружности, вписанной в треугольник (которая равна полупериметру треугольника, деленного на площадь треугольника):

$$r=\frac{a+b+c}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}$$

Где:
$a$, $b$, $c$ - длины сторон треугольника (6 см, 25 см и 29 см),
$s$ - полупериметр треугольника ($s=\frac{a+b+c}{2}$).

Подставляем значения:
$s=\frac{6+25+29}{2}=30$,
$r=30\cdot \frac{1}{\sqrt{30\cdot (30-6)\cdot (30-25)\cdot (30-29)}}\approx 0.4612$.

Теперь, зная радиус основания и высоту конуса, мы можем продолжить с расчетами.

1. Определение объема конуса:
Мы знаем, что $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$
Подставляем значения: $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {0.4612}^2\cdot 29\approx 5.077$ (округляем до тысячных).

2. Определение площади поверхности конуса:
Мы знаем, что $S=\pi \cdot r\cdot (r+l)$
Подставляем значения: $S=\pi \cdot 0.4612\cdot (0.4612+29)\approx 46.167$ (округляем до тысячных).

Таким образом, при повороте треугольника с длинами сторон 6 см, 25 см и 29 см вокруг оси, которая проходит через вершину треугольника, лежащую на наименьшей стороне, параллельно этой стороне, образуется конус с объемом около 5.077 см³ и площадью поверхности около 46.167 см².