Определите объем и площадь поверхности фигуры, которая образуется при повороте треугольника с длинами сторон 6

После поворота треугольника вокруг оси, которая проходит через вершину треугольника, лежащую на наименьшей стороне, параллельно этой стороне, образуется конус. Для определения объема и площади поверхности этого конуса, нам понадобятся некоторые формулы.

Формула для объема конуса:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \]

Формула для площади поверхности конуса:
\[ S = \pi \cdot r \cdot (r + l) \]

Здесь:
\( V \) - объем конуса,
\( S \) - площадь поверхности конуса,
\( r \) - радиус основания конуса,
\( h \) - высота конуса,
\( l \) - образующая конуса.

Для нашей задачи, основанием является треугольник, а высотой будет являться наибольшая сторона треугольника (29 см). Радиус основания можно определить, используя формулу радиуса окружности, вписанной в треугольник (которая равна полупериметру треугольника, деленного на площадь треугольника):

\[ r = \frac{a + b + c}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}} \]

Где:
\( a \), \( b \), \( c \) - длины сторон треугольника (6 см, 25 см и 29 см),
\( s \) - полупериметр треугольника (\( s = \frac{a + b + c}{2} \)).

Подставляем значения:
\( s = \frac{6 + 25 + 29}{2} = 30 \),
\( r = 30 \cdot \frac{1}{\sqrt{30 \cdot (30 - 6) \cdot (30 - 25) \cdot (30 - 29)}} \approx 0.4612 \).

Теперь, зная радиус основания и высоту конуса, мы можем продолжить с расчетами.

1. Определение объема конуса:
Мы знаем, что \( V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \)
Подставляем значения: \( V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 0.4612^2 \cdot 29 \approx 5.077 \) (округляем до тысячных).

2. Определение площади поверхности конуса:
Мы знаем, что \( S = \pi \cdot r \cdot (r + l) \)
Подставляем значения: \( S = \pi \cdot 0.4612 \cdot (0.4612 + 29) \approx 46.167 \) (округляем до тысячных).

Таким образом, при повороте треугольника с длинами сторон 6 см, 25 см и 29 см вокруг оси, которая проходит через вершину треугольника, лежащую на наименьшей стороне, параллельно этой стороне, образуется конус с объемом около 5.077 см³ и площадью поверхности около 46.167 см².