Определить значение скорости материальной точки в момент времени t=0,5 с, если её колебания затухают гармонически

Данная задача требует знания основ классической механики и колебаний. Давайте разберемся пошагово.

1. В начале, определим формулу для описания затухающих гармонических колебаний. Данная формула имеет вид:
\[x(t) = a_0 \cdot e^{-\zeta \omega_n t} \cdot \cos(\omega_d t + \phi)\]

2. В данной формуле:
- \(x(t)\) - расстояние от положения равновесия в момент времени \(t\).
- \(a_0\) - максимальная амплитуда колебаний.
- \(\zeta\) - логарифмический декремент затухания.
- \(\omega_n\) - собственная частота гармонического осциллятора без учета затухания.
- \(\omega_d\) - декрементальная частота.
- \(\phi\) - начальная фаза колебаний.

3. Для начала, найдем значения собственной частоты без учета затухания (\(\omega_n\)). Формула для собственной частоты в случае гармонических колебаний имеет вид:
\[\omega_n = \frac{2\pi}{T}\]

Где:
- \(\omega_n\) - собственная частота без учета затухания.
- \(T\) - период колебаний.

Заметим, что в условии задачи нам дано значение периода колебаний: \(T = 2\) с. Подставим данное значение в формулу собственной частоты и рассчитаем значение:
\[\omega_n = \frac{2\pi}{2} = \pi\]

4. Далее, найдем значение декрементальной частоты (\(\omega_d\)). Декрементальная частота связана со собственной частотой без учета затухания и логарифмическим декрементом затухания формулой:
\[\omega_d = \omega_n \cdot \sqrt{1 - \zeta^2}\]

В условии задачи нам дано значение логарифмического декремента затухания: \(\zeta = 2\). Подставим данное значение в формулу и вычислим значение декрементальной частоты:
\[\omega_d = \pi \cdot \sqrt{1 - 2^2} = \pi \cdot \sqrt{1 - 4} = \pi \cdot \sqrt{-3}\]

Заметим, что выражение \(\sqrt{-3}\) имеет мнимую часть, что означает, что декрементальная частота является мнимым числом. Ответ: \(\omega_d = \pi \cdot \sqrt{-3}\).

5. Теперь, используя полученные значения \(\omega_n\) и \(\omega_d\), составим выражение для уравнения колебаний:
\[x(t) = a_0 \cdot e^{-\zeta \omega_n t} \cdot \cos(\omega_d t + \phi)\]

В условии задачи нам дано значение начального отклонения \(x_0 = 0\), которое соответствует максимальной амплитуде а0, а также значение максимальной амплитуды \(a_0 = 0.3\ м\). Значение начальной фазы \(\phi\) не задано, поэтому мы можем предположить, что начальная фаза равна нулю.

Подставим все известные значения в выражение и получим окончательное уравнение колебаний:
\[x(t) = 0.3 \cdot e^{-2 \cdot \pi \cdot t} \cdot \cos(\pi \cdot \sqrt{-3} \cdot t)\]

6. Для нахождения значения скорости \(\dot{x}(t)\) в момент времени \(t = 0.5\) секунды, продифференцируем уравнение колебаний по времени \(t\):
\[\dot{x}(t) = -2 \cdot \pi \cdot 0.3 \cdot e^{-2 \cdot \pi \cdot t} \cdot \cos(\pi \cdot \sqrt{-3} \cdot t) - 0.3 \cdot e^{-2 \cdot \pi \cdot t} \cdot \pi \cdot \sqrt{-3} \cdot \sin(\pi \cdot \sqrt{-3} \cdot t)\]

Подставим \(t = 0.5\) в полученное уравнение и округлим ответ до нужной точности:
\[\dot{x}(0.5) \approx -2 \cdot \pi \cdot 0.3 \cdot e^{-2 \cdot \pi \cdot 0.5} \cdot \cos(\pi \cdot \sqrt{-3} \cdot 0.5) - 0.3 \cdot e^{-2 \cdot \pi \cdot 0.5} \cdot \pi \cdot \sqrt{-3} \cdot \sin(\pi \cdot \sqrt{-3} \cdot 0.5)\]

Вычислите данное выражение, чтобы получить точное значение скорости материальной точки в момент времени \(t = 0.5\) секунды.

Таким образом, для определения значения скорости материальной точки в момент времени \(t = 0.5\) секунды, используйте уравнение колебаний и предложенное пошаговое решение.