Определить, является ли ряд 1/ln2 + 1/ln3 + 1/ln4 сходящимся

Для определения сходимости данного ряда нам понадобится использовать интегральный признак.

Интегральный признак утверждает, что если функция \(\displaystyle f(x)\) монотонно убывает на интервале \([n, \infty)\) и если все ее значения являются положительными, то ряд \(\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } f(n)\) сходится или расходится вместе с функцией \(\displaystyle f(n)\) в случае, если соответствующий интеграл \(\displaystyle \int _{n}^{\infty } f(x) \, dx\) сходится или расходится.

В данном случае у нас имеется ряд \(\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty } \frac{1}{\ln ( n)}\). Проверим выполнение условий интегрального признака:

1. Функция вида \(f(n) = \frac{1}{\ln ( n)}\) является положительной на интервале \([2, \infty)\), так как логарифм всегда положителен для положительного аргумента.

2. Теперь проверим, монотонна ли она. Для этого посчитаем производную:
\[f"(n) = \frac{-1}{n \ln^2 ( n)} \]

Как видно, производная отрицательна для всех положительных \(n\), поэтому функция \(f(n)\) монотонно убывает.

Таким образом, все условия интегрального признака выполнены.

Теперь посчитаем соответствующий интеграл:
\[\int _{2}^{\infty } \frac{1}{\ln ( x)} \, dx \]

Можно обратить внимание, что функция \(f(x) = \frac{1}{\ln ( x)}\) является непрерывной и положительной на интервале \([2, \infty)\). Также, интеграл \(\displaystyle \int _{2}^{\infty } \frac{1}{x} \, dx\) сходится, что можно проверить непосредственным интегрированием.

Исходя из этого, интеграл \(\displaystyle \int _{2}^{\infty } \frac{1}{\ln ( x)} \, dx\) также сходится.

Следовательно, по интегральному признаку, ряд \(\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty } \frac{1}{\ln ( n)}\) сходится.

На основании вышеизложенного, можно сделать вывод, что ряд \( \displaystyle 1/\ln 2 + 1/\ln 3 + 1/\ln 4\) является сходящимся.