опишите путь, пройденный телом, за промежуток времени от t1=T/8 до t2=T/4, при условии, что тело массой m, подвешено

Чтобы описать путь, пройденный телом за указанный промежуток времени, нам нужно учесть, что колебания считаются гармоническими.

Для начала, давайте вспомним формулу для гармонических колебаний:

\[x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi)\]

где
\(x(t)\) - положение тела в момент времени \(t\),
\(A\) - амплитуда колебаний,
\(\omega\) - угловая частота колебаний,
\(\phi\) - фаза колебаний.

В нашем случае, тело начинает колебаться из положения равновесия (положение, в котором пружина не растянута и не сжата). Начальная скорость направлена вертикально вниз, поэтому в момент времени \(t=0\) тело находится ниже положения равновесия.

Таким образом, амплитуда колебаний будет равна начальному смещению тела от положения равновесия, то есть \(A = -v\), где \(v\) - начальная скорость тела.

Угловая частота колебаний может быть найдена с использованием формулы:

\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\),

где
\(k\) - жесткость пружины,
\(m\) - масса тела.

И, наконец, фаза колебаний \(\phi\) можно определить, зная начальные условия. Учитывая, что тело начинает колебаться из положения ниже равновесия, фаза будет равна 0, то есть \(\phi = 0\).

Теперь мы можем записать уравнение для положения тела в произвольный момент времени \(t\):

\[x(t) = -v \cdot \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t)\]

Для данной задачи нам необходимо определить положение тела в промежутке времени от \(t_1 = \frac{T}{8}\) до \(t_2 = \frac{T}{4}\). Подставим эти значения в уравнение:

\[x(t_1) = -v \cdot \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{T}{8})\]

\[x(t_2) = -v \cdot \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{T}{4})\]

Таким образом, путь, пройденный телом за промежуток времени от \(t_1\) до \(t_2\), будет равен разности положений:

\[Путь = x(t_2) - x(t_1)\]

\[Путь = -v \cdot \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{T}{4}) - (-v \cdot \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{T}{8}))\]

\[Путь = v \cdot (\cos(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{T}{8}) - \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{T}{4}))\]

Таким образом, формула для пути, пройденного телом в указанный промежуток времени, выглядит следующим образом:

\[Путь = v \cdot (\cos(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{T}{8}) - \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{T}{4}))\]