Описав окружность вокруг правильного треугольника и вписав в нее еще одну окружность, необходимо определить площадь

Дана правильный треугольник, внутри которого описана окружность, и радиус этой окружности известен. Мы хотим найти площадь внутренней окружности и длину окружности, ограничивающей ее.

Для начала рассмотрим ситуацию с описанной окружностью. Описанная окружность - это окружность, которая проходит через вершины треугольника. Для правильного треугольника с радиусом описанной окружности \(R\), радиус этой окружности равен половине стороны треугольника. Обозначим эту сторону как \(a\).

Так как наш треугольник правильный, все его стороны равны между собой, поэтому сторона \(a\) равна длине любой из сторон треугольника. Получается, что радиус описанной окружности \(R\) равен \(\frac{{a}}{2}\).

Далее, рассмотрим ситуацию с вписанной окружностью. Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон треугольника внутренним образом. Для правильного треугольника с радиусом вписанной окружности \(r\), радиус этой окружности равен расстоянию от центра вписанной окружности до одной из сторон треугольника. Обозначим это расстояние как \(h\).

Вывод из данной конструкции окружностей состоит в том, что рассмотрев треугольник, составленный из радиуса описанной окружности \(R\), радиуса вписанной окружности \(r\) и одной из сторон треугольника \(a\), получится прямоугольный треугольник. Расстояние от центра вписанной окружности до одной из сторон треугольника - это высота прямоугольного треугольника.

Для такого треугольника можно применить теорему Пифагора: \(R = \sqrt{{r^2 + h^2}}\).

Однако, у нас уже есть выражение для \(R\), которое равно \(\frac{{a}}{2}\).

Подставив это значение в уравнение \(\frac{{a}}{2} = \sqrt{{r^2 + h^2}}\), получим:

\[\frac{{a^2}}{4} = r^2 + h^2\]

Исходя из этого уравнения, мы можем выразить \(h\) через заданные значения:

\[h = \sqrt{{\frac{{a^2}}{4} - r^2}}\]

Теперь, когда у нас есть значение \(h\), мы можем найти площадь внутренней окружности и длину окружности, ограничивающей ее.

Площадь внутренней окружности выражается формулой \(S = \pi \cdot r^2\), где \(r\) - радиус вписанной окружности. В нашем случае \(r = \frac{{a}}{2}\), поэтому:

\[S = \pi \cdot \left(\frac{{a}}{2}\right)^2\]

Также, длина окружности, ограничивающей внутреннюю окружность, равна \(C = 2\pi \cdot r\). В нашем случае:

\[C = 2\pi \cdot \left(\frac{{a}}{2}\right)\]

Таким образом, мы можем использовать эти формулы для вычисления площади и длины окружности ограничивающей внутреннюю окружность по заданным значениям радиуса описанной окружности \(R\) и стороны треугольника \(a\).