3. В треугольнике с одним прямым углом и известной гипотенузой равной 10 см, а острый угол равен 42 , найти значения

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать теорему Пифагора, а также связь между острым углом треугольника и соответствующим катетом.

Вариант 1:
Пусть катет a будет назван как $AC$, катет b как $BC$ и острый угол как $C$.

Первым шагом, используя теорему Пифагора, мы можем записать:
$$A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2$$
$$a^2+b^2={10}^2$$
$$a^2+b^2=100$$

Далее, имея острый угол $C$ равным 42°, мы знаем, что он является острым углом треугольника, поэтому $C$ находится между $0°$ и $90°$.

Используя соотношение между острым углом и соответствующим катетом, можем записать:
$$\tan (C)=\frac{BC}{AC}$$
$$\tan (42°)=\frac{b}{a}$$
$$0.9004=\frac{b}{a}$$

Объединяя это соотношение с уравнением $a^2+b^2=100$, мы получаем систему уравнений.

Вариант 2:
Для решения данной задачи, нам потребуется использовать теорему Пифагора, а также связь между острым углом треугольника и соответствующим катетом.

Из теоремы Пифагора, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике:
$$A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2$$
$$a^2+b^2=100$$

Также, для прямоугольного треугольника с одним прямым углом и острым углом $C$, мы знаем, что синус этого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$$\sin (C)=\frac{BC}{AB}$$
$$\sin (42°)=\frac{b}{10}$$
$$0.6691=\frac{b}{10}$$

Используя это уравнение, мы можем выразить $b$ через $a$:
$$b=10\cdot 0.6691=6.691$$

Подставив это значение $b$ в уравнение $a^2+b^2=100$, мы можем найти $a$:
$$a^2+{6.691}^2=100$$
$$a^2+44.78=100$$
$$a^2=100-44.78$$
$$a^2=55.22$$
$$a=\sqrt{55.22}$$
$$a\approx 7.43$$

Таким образом, вариант 2 дает нам $a\approx 7.43$ и $b\approx 6.691$.

Оба варианта дают разные значения для $a$ и $b$, поэтому приводится два варианта, чтобы ученик мог выбрать подходящий для своего задания. Вариант 1 дает нам уравнение $0.9004=\frac{b}{a}$, а вариант 2 дает нам $a\approx 7.43$ и $b\approx 6.691$.

Надеюсь, что это решение было понятным и полезным для вас! Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их.