3. В треугольнике с одним прямым углом и известной гипотенузой равной 10 см, а острый угол равен 42 , найти значения

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать теорему Пифагора, а также связь между острым углом треугольника и соответствующим катетом.

Вариант 1:
Пусть катет a будет назван как \(AC\), катет b как \(BC\) и острый угол как \(C\).

Первым шагом, используя теорему Пифагора, мы можем записать:
\[AC^2 + BC^2 = AB^2\]
\[a^2 + b^2 = 10^2\]
\[a^2 + b^2 = 100\]

Далее, имея острый угол \(C\) равным 42°, мы знаем, что он является острым углом треугольника, поэтому \(C\) находится между \(0°\) и \(90°\).

Используя соотношение между острым углом и соответствующим катетом, можем записать:
\[\tan(C) = \frac{BC}{AC}\]
\[\tan(42°) = \frac{b}{a}\]
\[0.9004 = \frac{b}{a}\]

Объединяя это соотношение с уравнением \(a^2 + b^2 = 100\), мы получаем систему уравнений.

Вариант 2:
Для решения данной задачи, нам потребуется использовать теорему Пифагора, а также связь между острым углом треугольника и соответствующим катетом.

Из теоремы Пифагора, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике:
\[AC^2 + BC^2 = AB^2\]
\[a^2 + b^2 = 100\]

Также, для прямоугольного треугольника с одним прямым углом и острым углом \(C\), мы знаем, что синус этого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
\[\sin(C) = \frac{BC}{AB}\]
\[\sin(42°) = \frac{b}{10}\]
\[0.6691 = \frac{b}{10}\]

Используя это уравнение, мы можем выразить \(b\) через \(a\):
\[b = 10 \cdot 0.6691 = 6.691\]

Подставив это значение \(b\) в уравнение \(a^2 + b^2 = 100\), мы можем найти \(a\):
\[a^2 + 6.691^2 = 100\]
\[a^2 + 44.78 = 100\]
\[a^2 = 100 - 44.78\]
\[a^2 = 55.22\]
\[a = \sqrt{55.22}\]
\[a \approx 7.43\]

Таким образом, вариант 2 дает нам \(a \approx 7.43\) и \(b \approx 6.691\).

Оба варианта дают разные значения для \(a\) и \(b\), поэтому приводится два варианта, чтобы ученик мог выбрать подходящий для своего задания. Вариант 1 дает нам уравнение \(0.9004 = \frac{b}{a}\), а вариант 2 дает нам \(a \approx 7.43\) и \(b \approx 6.691\).

Надеюсь, что это решение было понятным и полезным для вас! Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их.