Нужно доказать монотонность функции f(x) = 4x - 3sinx на всем числовом промежутке

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\). Чтобы определить монотонность функции, нам нужно исследовать знак ее производной.

Производная функции \(f(x)\) будет равна сумме производных каждого слагаемого. Производная слагаемого \(4x\) равна просто 4, так как производная переменной \(x\) равна 1. Производная слагаемого \(-3\sin(x)\) равна \(-3\cos(x)\), так как производная синуса равна косинусу.

Таким образом, производная функции \(f(x) = 4x - 3\sin(x)\) будет равна \(f"(x) = 4 - 3\cos(x)\).

Шаг 2: Исследуем знак производной. Для этого найдем точки, в которых \(f"(x) = 0\) и определим знак производной между ними.

Чтобы найти точки, в которых \(f"(x) = 0\), решим уравнение \(4 - 3\cos(x) = 0\). Для этого приравняем \(\cos(x)\) к \(\frac{4}{3}\) и найдем все значения \(x\), удовлетворяющие этому равенству.

\(\cos(x) = \frac{4}{3}\)

Поскольку значение \(\cos(x)\) не может быть больше 1 или меньше -1, уравнение не имеет решений. Это означает, что у функции нет критических точек, где ее производная равна нулю.

Шаг 3: Определяем знак производной между критическими точками. Наша функция является тригонометрической функцией \(\sin(x)\), которая варьируется между -1 и 1. Поскольку коэффициент у \(\sin(x)\) равен -3, знак производной в каждой точке будет противоположен знаку \(\cos(x)\).

Если \(\cos(x)\) положительно, \(-3\cos(x)\) будет отрицательным, и наоборот, если \(\cos(x)\) отрицательно, \(-3\cos(x)\) будет положительным.

Таким образом, знак производной \(f"(x)\) будет меняться в зависимости от знака \(\cos(x)\). Так как \(\cos(x)\) регулярно колеблется между -1 и 1, производная будет переключаться между положительными и отрицательными значениями.

Шаг 4: Исследуем монотонность функции \(f(x)\).

Так как производная функции \(f(x)\) меняет знак, мы можем сделать вывод о монотонности функции \(f(x)\) на основе знаков производной.

Если производная положительна на некотором интервале, это означает, что функция \(f(x)\) возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна, функция \(f(x)\) будет убывать.

На основе шага 3 мы видим, что производная \(-3\cos(x)\) отрицательна на одной половине периода \(\cos(x)\) и положительна на другой половине.

Таким образом, функция \(f(x)\) будет убывать в одной половине периода и возрастать в другой половине. Мы можем сделать вывод, что функция \(f(x)\) не является монотонной на всем числовом промежутке, а меняет свою монотонность в зависимости от значения \(\cos(x)\).

Надеюсь, эта пошаговая процедура помогла вам доказать монотонность функции \(f(x) = 4x - 3\sin(x)\). Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.