Нужно доказать, что треугольник abc является равнобедренным, при условии, что в треугольнике проведены медианы

Чтобы доказать, что треугольник $abc$ является равнобедренным, нам нужно показать, что длины боковых сторон $ab$ и $ac$ равны.

Первым шагом нам дано, что медианы $a{a}_1$ и $c{c}_1$ проведены в треугольнике $abc$, и известно, что $\mathrm{\angle }a{a}_{1}c=\mathrm{\angle }c{c}_{1}a$.

Мы знаем, что медиана, проведенная к стороне треугольника, делит ее на две равные части. Таким образом, $a{a}_1$ делит сторону $bc$ пополам, и $c{c}_1$ делит сторону $ab$ пополам.

Обозначим точки пересечения медиан $a{a}_1$ и $c{c}_1$ со стороной $bc$ как $m$ и $n$ соответственно.

Теперь мы можем заметить, что $\mathrm{△}a{a}_{1}m$ и $\mathrm{△}c{c}_{1}n$ являются равнобедренными треугольниками: сторона $am$ равна $a{m}_1$ и сторона $cn$ равна $c{n}_1$, так как медианы делят стороны пополам. Кроме того, углы $\mathrm{\angle }a{a}_{1}m$ и $\mathrm{\angle }c{c}_{1}n$ также равны $\mathrm{\angle }a{a}_{1}c$ и $\mathrm{\angle }c{c}_{1}a$ соответственно, так как эти углы являются вертикальными углами.

Так как треугольники $\mathrm{△}a{a}_{1}m$ и $\mathrm{△}c{c}_{1}n$ являются равнобедренными и имеют одинаковые углы, то они подобны.

Из подобия треугольников мы можем сделать следующее утверждение: $\frac{a{m}_1}{am}=\frac{c{c}_1}{cn}$.

Так как сторона $am$ равна половине стороны $bc$ (так как $a{a}_1$ - медиана), а сторона $cn$ равна половине стороны $ab$ (так как $c{c}_1$ - медиана), мы можем заменить значения: $\frac{a{m}_1}{\frac{bc}{2}}=\frac{c{c}_1}{\frac{ab}{2}}$.

Упростим это выражение: $\frac{a{m}_1}{bc}=\frac{c{c}_1}{ab}$.

Теперь, если мы умножим обе части на $ab$ и $bc$, мы получим: $(a{m}_1\cdot ab)=(c{c}_1\cdot bc)$.

Это означает, что произведение длины отрезка $a{m}_1$ и длины отрезка $ab$ равно произведению длины отрезка $c{c}_1$ и длины отрезка $bc$.

Используя свойство медиан, мы знаем, что $a{m}_1\cdot ab=\frac{1}{2}ac\cdot ab$ и $c{c}_1\cdot bc=\frac{1}{2}ab\cdot bc$.

Подставим это в выражение: $\frac{1}{2}ac\cdot ab=\frac{1}{2}ab\cdot bc$.

Домножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей: $ac\cdot ab=ab\cdot bc$.

Значит, мы получили, что $ac=bc$, что означает, что треугольник $abc$ является равнобедренным, так как его боковые стороны $ab$ и $ac$ равны.

Таким образом, мы успешно доказали, что треугольник $abc$ является равнобедренным на основе данных о медианах и равных углах.