Необходимо выполнить только 1-е и 4-е задание, о которых идет речь в приложении, касательно параллельности плоскостей

Хорошо, давайте рассмотрим по очереди выполнение первой и четвертой задачи, связанных с параллельностью плоскостей.

1. Задание: Найдите коэффициенты уравнения плоскости, параллельной данной плоскости \(\pi_1\), и проходящей через заданную точку M(x_0, y_0, z_0).

Решение:
Пусть уравнение плоскости \(\pi_1\) имеет вид \(Ax + By + Cz + D = 0\).

Для плоскости, параллельной данной, коэффициенты A, B и C останутся неизменными. Обозначим их как A_1, B_1 и C_1 соответственно.

Также мы знаем, что такая параллельная плоскость проходит через заданную точку M(x_0, y_0, z_0). Подставим координаты точки M в уравнение плоскости и получим:

\(A_1x_0 + B_1y_0 + C_1z_0 + D_1 = 0\),

где D_1 - новый неизвестный коэффициент.

Получили систему уравнений:
\[
\begin{cases}
Ax + By + Cz + D = 0 \\
A_1x_0 + B_1y_0 + C_1z_0 + D_1 = 0
\end{cases}
\]

Решив эту систему уравнений относительно коэффициентов D и D_1, получим решение задачи.

4. Задание: Даны три плоскости \(\pi_1: 2x - 3y + 4z = 7\), \(\pi_2: 4x + y - 2z = 5\) и \(\pi_3: 6x - 5y + 8z = 3\). Проверьте, являются ли они попарно параллельными или пересекаются в одной прямой.

Решение:
Для плоскостей являться попарно параллельными необходимо и достаточно, чтобы их нормальные векторы были коллинеарными (или пропорциональными).
Воспользуемся уравнением плоскости в общем виде \(Ax + By + Cz + D = 0\) и найдем нормальные векторы для каждой плоскости.

- Для плоскости \(\pi_1\) нормальный вектор будет иметь координаты (2,-3,4).
- Для плоскости \(\pi_2\) нормальный вектор будет иметь координаты (4,1,-2).
- Для плоскости \(\pi_3\) нормальный вектор будет иметь координаты (6,-5,8).

Теперь сравним эти нормальные векторы между собой. Если они коллинеарны (пропорциональны), то плоскости попарно параллельны, иначе они пересекаются в одной прямой.

Рассчитаем отношения координат для всех трех векторов:
- Отношение для \(\pi_1\) и \(\pi_2\): \(\frac{2}{4} = \frac{-3}{1} = \frac{4}{-2}\)
- Отношение для \(\pi_1\) и \(\pi_3\): \(\frac{2}{6} = \frac{-3}{-5} = \frac{4}{8}\)
- Отношение для \(\pi_2\) и \(\pi_3\): \(\frac{4}{6} = \frac{1}{-5} = \frac{-2}{8}\)

Мы видим, что отношения координат векторов для всех трех плоскостей равны, значит, нормальные векторы коллинеарны, и плоскости \(\pi_1\), \(\pi_2\) и \(\pi_3\) являются попарно параллельными.