Необходимо определить две точки М и N на сторонах острого угла на плоскости таким образом, чтобы длина пути АMNA

Чтобы найти точки M и N, на которых путь АMNA будет минимальным, нам понадобится понять определенные свойства данной задачи.

Представим, что у нас есть острый угол на плоскости, и точка А находится в вершине этого угла. Пусть стороны угла будут обозначены как AB и AC.

Для начала, посмотрим, как будет выглядеть наш путь АMNA, если мы выберем произвольные точки M и N на сторонах угла.

Пусть точка М находится на стороне AB, а точка N находится на стороне AC. Тогда путь АMNA будет представлять собой отрезки AM, MN и NA.

Так как нам нужно, чтобы длина этого пути была минимальной, мы можем сделать следующие наблюдения:

1. Путь AMNA будет минимальным, если AM + MN + NA будет минимально. Это значит, что нам нужно избегать длинных отрезков и стремиться к более коротким.

2. Мы знаем, что путь из одной точки до другой на плоскости является прямой линией. Таким образом, чтобы минимизировать путь AMNA, отрезки AM, MN и NA должны быть отрезками прямых линий.

Теперь, рассмотрим следующие возможные варианты выбора точек M и N:

1. Пусть точка M находится на стороне AB, а точка N - на стороне AC, причем AM = MN = NA. В этом случае путь AMNA будет иметь минимальную длину. Почему? Потому что все отрезки AM, MN и NA будут иметь одинаковую длину, что означает, что нет необходимости увеличивать путь, чтобы добраться от А до М и от М до N, а затем от N до А.

2. Если точка M перемещается на сторону AB, а точка N перемещается на сторону AC, и AM < MN < NA или AM > MN > NA, то путь AMNA будет меньше, чем в случае, когда AM = MN = NA.

3. Если точка M перемещается на сторону AB, а точка N перемещается на сторону AC, и AM > MN и NA > MN, то путь AMNA будет больше, чем в случае, когда AM = MN = NA.

Исходя из наших наблюдений, мы можем сделать вывод, что для минимизации пути АMNA необходимо выбрать точки M и N так, чтобы AM = MN = NA. Таким образом, эти три отрезка будут представлять собой равные отрезки прямых линий и будут иметь минимальную длину.

Окончательный ответ: чтобы длина пути AMNA была минимальной, нужно выбрать точки M и N на сторонах острого угла таким образом, чтобы AM = MN = NA.