Какова длина окружности, если от точки на расстоянии 2см от ближайшей точки на окружности проведена касательная длиной

Для решения этой задачи, нам пригодятся некоторые свойства окружностей.

Давайте обозначим следующие величины:
- \(r\) - радиус окружности (расстояние от центра окружности до любой её точки);
- \(d\) - расстояние от точки до ближайшей точки на окружности (проведенная прямая, называемая радиусовым вектором);
- \(l\) - длина касательной, проведенной от точки на расстоянии \(d\) от окружности.

Теперь, обратимся к свойству окружностей:

Свойство: Любая касательная, проведенная к окружности, перпендикулярна радиусу в точке касания.
Это значит, что касательная проведенная от какой-либо точки окружности всегда образует угол 90 градусов с радиусом, проведенным в эту же точку.

С учетом данного свойства, мы можем построить прямоугольный треугольник, где сторона \(l\) является гипотенузой, а сторона \(r\) - одним из катетов. Также, из условия задачи, мы знаем, что другой катет равен \(d\). Обозначим неизвестный катет как \(x\), тогда:

\[x^2 + d^2 = r^2.\]

Треугольник с гипотенузой \(l\) и катетами \(x\) и \(d\) подобен прямоугольному треугольнику с радиусом \(r\) и катетами \(r\) и \(d\). Поэтому, применяя подобие треугольников можно записать:

\[\frac{l}{x} = \frac{r}{r} = 1,\]

или

\[l = x.\]

Таким образом, мы получили уравнение:

\[x^2 + d^2 = r^2.\]

Теперь, подставим известные значения в данное уравнение: \(d = 2\) и \(l = 3\). Тогда получим:

\[x^2 + 2^2 = r^2.\]

\[x^2 + 4 = r^2.\]

Теперь, необходимо выразить \(r\) через известные значения:

\[r = \sqrt{x^2 + 4}.\]

Таким образом, мы определили зависимость радиуса окружности от длины касательной.

Для нахождения длины окружности, мы можем воспользоваться формулой, использующей радиус окружности:

\[C = 2\pi r.\]

Таким образом, длина окружности равна:

\[C = 2\pi \sqrt{x^2 + 4}.\]

Используя известные значения, мы можем найти длину окружности:

\[C = 2\pi \sqrt{3^2 + 4}.\]

\[C = 2\pi \sqrt{9 + 4}.\]

\[C = 2\pi \sqrt{13}.\]

Подзадача: можете объяснить, что такое \(pi\) и как его использовать?

Конечный ответ: Длина окружности, если от точки на расстоянии 2 см от ближайшей точки на окружности проведена касательная длиной 3 см, равна \(2\pi \sqrt{13}\).