Необходимо найти координаты третьей вершины прямоугольного треугольника с заданными уравнением гипотенузы 2x+3y=1

Для того чтобы найти координаты третьей вершины прямоугольного треугольника, нам необходимо знать координаты двух из трех вершин треугольника. В данном случае, у нас уже есть координаты двух вершин: точки A(-1,1) и B(-2,-1).

Для начала, давайте найдем уравнение прямой, проходящей через эти две точки. Мы можем использовать формулу для нахождения уравнения прямой, исходя из двух точек:

$$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$$

где (x1, y1) и (x2, y2) - это координаты двух известных точек. В нашем случае, это A(-1,1) и B(-2,-1):

$$y-1=\frac{-1-1}{-2-(-1)}(x-(-1))$$

Упростим эту формулу:

$$y-1=\frac{-2}{-1}(x+1)$$
$$y-1=2(x+1)$$

Раскроем скобки:

$$y-1=2x+2$$

Перенесем 2x на другую сторону:

$$y=2x+3$$

Мы получили уравнение прямой, проходящей через точки A и B. Теперь нам необходимо найти точку пересечения этой прямой с уравнением гипотенузы треугольника 2x + 3y = 1.

Для этого мы можем решить систему уравнений, состоящую из двух уравнений:

$$\{\begin{array}{l}y=2x+3\\ 2x+3y=1\end{array}$$

Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод подстановки или метод равенства коэффициентов. В данном случае, для удобства, воспользуемся методом подстановки.

Сначала подставим уравнение прямой в уравнение гипотенузы:

$$2x+3(2x+3)=1$$

Раскроем скобки:

$$2x+6x+9=1$$

Соберем все члены с x влево, а все остальные члены вправо:

$$8x+9=1$$

Вычтем 9 из обеих сторон:

$$8x=-8$$

Разделим обе стороны на 8:

$$x=-1$$

Теперь, подставим найденное значение x в уравнение прямой:

$$y=2(-1)+3$$
$$y=-2+3$$
$$y=1$$

Таким образом, мы нашли координаты третьей вершины треугольника. Они равны (-1, 1).