Необходимо доказать параллельность плоскости (mnk) и плоскости (bcd), где точка d не принадлежит плоскости треугольника

Для начала, давайте рассмотрим определение параллельности плоскостей. Плоскости (mnk) и (bcd) будут параллельными, если все прямые, лежащие в одной из этих плоскостей, будут параллельны прямым, лежащим в другой плоскости.

Итак, плоскость (mnk) задана точками m, n и k, причем точка m является серединой отрезка ad, точка n является серединой отрезка ac, а точка k является серединой отрезка ab. Плоскость (bcd) задана точками b, c и d.

Чтобы доказать, что плоскость (mnk) и плоскость (bcd) параллельны, мы должны показать, что любая прямая, лежащая в плоскости (mnk), будет параллельна любой прямой, лежащей в плоскости (bcd). Давайте рассмотрим две прямые: ab, лежащую в плоскости (bcd), и mn, лежащую в плоскости (mnk).

Для начала заметим, что отрезок ab параллелен отрезку cd, так как точка d не принадлежит плоскости треугольника авс. Это означает, что вектор ab параллелен вектору cd.

Теперь обратимся к отрезку mn. Поскольку точка m является серединой отрезка ad, вектор am будет равен вектору md. Точно так же, так как точка n является серединой отрезка ac, вектор an будет равен вектору nc.

Заметим, что вектор mn равен сумме векторов am и an, то есть mn = am + an. Аналогично, можно выразить вектор cd как сумму векторов cb и bd, то есть cd = cb + bd.

Так как мы уже выяснили, что ab параллелен cd и mn = am + an, мы можем записать следующее: ab параллелен cd и mn = am + an. Далее мы можем добавить вектор bd к обоим сторонам и получить: ab + bd параллелен cd + bd.

Теперь давайте разберемся с векторами ab + bd и cd + bd. Заметим, что ab + bd представляет собой вектор ad, который в свою очередь является вектором, лежащим в плоскости (bcd). Точно так же, cd + bd представляет собой вектор cb, который лежит в плоскости (bcd).

Итак, мы пришли к выводу, что векторы ab + bd и cd + bd лежат в плоскости (bcd), и они параллельны друг другу.

Получается, что все прямые, лежащие в плоскости (mnk), параллельны всем прямым, лежащим в плоскости (bcd). Следовательно, плоскость (mnk) и плоскость (bcd) параллельны.

Доказательство завершено.