Необходимо доказать параллельность плоскости acb1 и плоскости a1c1d в кубе abcda1b1c1d1

Для начала, давайте посмотрим на конструкцию куба ABCDA1B1C1D1:

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & C & & & & B & \\
& / & / & & & & / & / \\
& / & / & & & & / & / \\
D \rightarrow & A & \rightarrow & B_1 & & C_1 & \rightarrow & D_1 \\
& | & | & & & | & | \\
& | & | & & & | & | \\
& D_1 & \rightarrow & A_1 & & B & \rightarrow & C \\
& | & | & & & | & | \\
& | & | & & & | & | \\
D & \rightarrow & A & & B_1 & & C_1 & \\
& / & / & & & & / & / \\
& / & / & & & & / & / \\
C_1 & & D_1 & & A_1 & & B & \\
\end{array}
\]

Теперь мы хотим доказать, что плоскость ACB1 параллельна плоскости A1C1D.

Давайте рассмотрим три точки, лежащие в плоскости ACB1: A, C и B1. Обозначим их координаты следующим образом:
A(x1, y1, z1), C(x2, y2, z2), B1(x3, y3, z3).

Аналогично обозначим три точки, лежащие в плоскости A1C1D: A1(x4, y4, z4), C1(x5, y5, z5), D(x6, y6, z6).

Теперь нам нужно проверить, имеют ли эти точки одинаковые нормальные векторы, так как плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны.

Для начала нам нужно найти векторы AC и AB1:

AC = C - A = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
AB1 = B1 - A = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)

Теперь найдем векторное произведение векторов AC и AB1:

\[
\begin{aligned}
AC \times AB1 &= \begin{vmatrix}
i & j & k \\
x2 - x1 & y2 - y1 & z2 - z1 \\
x3 - x1 & y3 - y1 & z3 - z1 \\
\end{vmatrix} \\
&= ((y2 - y1)(z3 - z1) - (z2 - z1)(y3 - y1), \\
&\quad (z2 - z1)(x3 - x1) - (x2 - x1)(z3 - z1), \\
&\quad (x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 - y1)(x3 - x1)).
\end{aligned}
\]

Аналогично, найдем векторное произведение векторов A1C1 и AD:

A1C1 = C1 - A1 = (x5 - x4, y5 - y4, z5 - z4)
AD = D - A = (x6 - x1, y6 - y1, z6 - z1)

\[
\begin{aligned}
A1C1 \times AD &= \begin{vmatrix}
i & j & k \\
x5 - x4 & y5 - y4 & z5 - z4 \\
x6 - x1 & y6 - y1 & z6 - z1 \\
\end{vmatrix} \\
&= ((y5 - y4)(z6 - z1) - (z5 - z4)(y6 - y1), \\
&\quad (z5 - z4)(x6 - x1) - (x5 - x4)(z6 - z1), \\
&\quad (x5 - x4)(y6 - y1) - (y5 - y4)(x6 - x1)).
\end{aligned}
\]

Теперь мы сравним эти два векторных произведения:

\[
\begin{aligned}
AC \times AB1 &= ((y2 - y1)(z3 - z1) - (z2 - z1)(y3 - y1), \\
&\quad (z2 - z1)(x3 - x1) - (x2 - x1)(z3 - z1), \\
&\quad (x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 - y1)(x3 - x1)), \\
A1C1 \times AD &= ((y5 - y4)(z6 - z1) - (z5 - z4)(y6 - y1), \\
&\quad (z5 - z4)(x6 - x1) - (x5 - x4)(z6 - z1), \\
&\quad (x5 - x4)(y6 - y1) - (y5 - y4)(x6 - x1)).
\end{aligned}
\]

Если эти два векторных произведения коллинеарны, то их координаты пропорциональны друг другу. Это означает, что мы должны иметь:

\[
\frac{{(y2 - y1)(z3 - z1) - (z2 - z1)(y3 - y1)}}{{(y5 - y4)(z6 - z1) - (z5 - z4)(y6 - y1)}} = \frac{{(z2 - z1)(x3 - x1) - (x2 - x1)(z3 - z1)}}{{(z5 - z4)(x6 - x1) - (x5 - x4)(z6 - z1)}} = \frac{{(x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 - y1)(x3 - x1)}}{{(x5 - x4)(y6 - y1) - (y5 - y4)(x6 - x1)}}.
\]

Если эти отношения равны, то мы можем заключить, что плоскость ACB1 параллельна плоскости A1C1D. Это можно доказать, сравнивая координаты и беря в расчет равенство посчитанных соотношений. Если они везде равны, мы доказали параллельность плоскостей. Удачи!