Необходимо доказать, что угол ABC на изображении 10.41 составляет 90°. (можно предположить, что длина клетки равна

Хорошо! Давайте решим данную задачу по шагам, чтобы все было понятно.

Шаг 1: Расположим изображение 10.41 нарисованное на клетчатой бумаге. По условию задачи, предположим, что длина одной клетки равна \(x\) (нам предстоит вычислить значение этой длины позже).

A C
┌─────────────────┐
│ │
│ │
├─────────────────┤
│ B │
│ │
└─────────────────┘

Шаг 2: Проведем отрезки AB и BC в нашем изображении.

Шаг 3: Посмотрим на треугольник ABC. Если мы сможем доказать, что угол ABC равен 90°, то задача будет решена.

Шаг 4: Посмотрим на прямоугольный треугольник BAC. В прямоугольных треугольниках, соседний к прямому углу угол называется прямым углом. То есть если у нас доказывается равенство угла ABC к прямому углу в треугольнике BAC, то мы сможем доказать, что угол ABC также равен 90°.

Шаг 5: Мы уже установили, что треугольник BAC - прямоугольный. Теперь посмотрим на стороны этого треугольника. У нас есть отрезок AB, который в нашем изображении равен \(3x\), и отрезок BC, который равен \(4x\).

Шаг 6: Заметим, что стороны треугольника BAC соотносятся как катеты и гипотенуза в прямоугольном треугольнике. То есть, угол ABC должен быть прямым углом, если выполнено соотношение \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) (теорема Пифагора).

Шаг 7: Подставим значения сторон AB и BC в формулу из предыдущего шага и упростим ее. Получим:

\((4x)^2 = (3x)^2 + AC^2\)

\(16x^2 = 9x^2 + AC^2\)

\(16x^2 - 9x^2 = AC^2\)

\(7x^2 = AC^2\)

Шаг 8: Теперь нам нужно найти значение стороны AC. Для этого разберемся со значением переменной \(x\). По условию задачи, предположим, что длина одной клетки равна \(1\) единице.

Шаг 9: Если длина одной клетки равна \(1\), то сторона AB в нашем изображении равна \(3\) единицам, а сторона BC равна \(4\) единицам.

Шаг 10: Теперь мы можем найти значение стороны AC, подставив \(x = 1\) в уравнение из шага 7:

\(7(1^2) = AC^2\)

\(7 = AC^2\)

\(AC = \sqrt{7}\)

Шаг 11: Подводя итог, мы получили, что сторона AC в нашем треугольнике равна \(\sqrt{7}\), а сторона AB равна \(3\). Равенство \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) выполняется:

\((4)^2 = (3)^2 + (\sqrt{7})^2\)

\(16 = 9 + 7\)

\(16 = 16\)

Шаг 12: Учитывая равенство \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), мы можем сделать вывод о том, что угол ABC равен 90°.

Таким образом, мы доказали, что угол ABC на изображении 10.41 составляет 90°.