Необходимо доказать, что точка m принадлежит диагонали квадрата abcd

Для доказательства того, что точка \(m\) принадлежит диагонали квадрата \(ABCD\), мы должны установить два условия:
1. Показать, что точка \(m\) лежит на диагонали \(AC\).
2. Показать, что точка \(m\) лежит на диагонали \(BD\).

Для начала, давайте определим некоторые обозначения. Пусть \(A\) будет координатой верхнего левого угла квадрата \(ABCD\), \(B\) - верхним правым углом, \(C\) - нижним правым углом, \(D\) - нижним левым углом. Давайте обозначим координаты точки \(m\) как \((x_m, y_m)\). Также у нас есть сторона квадрата \(AB = BC = CD = DA = a\).

1. Чтобы доказать, что точка \(m\) лежит на диагонали \(AC\), нам нужно проверить, совпадают ли расстояния от точки \(m\) до вершин \(A\) и \(C\).

Давайте рассмотрим координаты точек \(A\) и \(C\). \(A\) имеет координаты \((0, 0)\), а \(C\) имеет координаты \((a, -a)\). Теперь рассмотрим расстояния между точкой \(m\) и вершиной \(A\):

\[d_1 = \sqrt{(x_m - 0)^2 + (y_m - 0)^2} = \sqrt{x_m^2 + y_m^2}\]

Теперь рассмотрим расстояния между точкой \(m\) и вершиной \(C\):

\[d_2 = \sqrt{(x_m - a)^2 + (y_m - (-a))^2} = \sqrt{(x_m - a)^2 + (y_m + a)^2}\]

Теперь, чтобы доказать, что точка \(m\) лежит на диагонали \(AC\), необходимо показать, что \(d_1 = d_2\).

\[d_1 = d_2 \implies \sqrt{x_m^2 + y_m^2} = \sqrt{(x_m - a)^2 + (y_m + a)^2}\]

Чтобы упростить это равенство, возведем его в квадрат:

\[(x_m^2 + y_m^2) = (x_m - a)^2 + (y_m + a)^2\]

Раскроем скобки и упростим:

\[x_m^2 + y_m^2 = x_m^2 - 2ax_m + a^2 + y_m^2 + 2ay_m + a^2\]

Сократим одинаковые слагаемые:

\[0 = -2ax_m + 2ay_m + 2a^2\]

Теперь делим на 2:

\[0 = -ax_m + ay_m + a^2\]

Мы видим, что левая часть равенства равна нулю. В правой части можно вынести общий сомножитель \(a\):

\[0 = a(-x_m + y_m + a)\]

Таким образом, мы получаем уравнение:

\[-x_m + y_m + a = 0\]

Оно представляет уравнение прямой, которая содержит диагональ \(AC\) квадрата \(ABCD\). Это уравнение будет верно для любой точки, лежащей на диагонали \(AC\), включая нашу точку \(m\). Следовательно, точка \(m\) принадлежит диагонали \(AC\).

2. Теперь давайте докажем, что точка \(m\) лежит на диагонали \(BD\). Аналогично, нам нужно проверить, совпадают ли расстояния от точки \(m\) до вершин \(B\) и \(D\).

Рассмотрим координаты точек \(B\) и \(D\). \(B\) имеет координаты \((a, 0)\), а \(D\) имеет координаты \((0, -a)\). Расстояния между точкой \(m\) и вершиной \(B\) равны:

\[d_3 = \sqrt{(x_m - a)^2 + (y_m - 0)^2} = \sqrt{(x_m - a)^2 + y_m^2}\]

Расстояния между точкой \(m\) и вершиной \(D\) равны:

\[d_4 = \sqrt{(x_m - 0)^2 + (y_m - (-a))^2} = \sqrt{x_m^2 + (y_m + a)^2}\]

Чтобы доказать, что точка \(m\) лежит на диагонали \(BD\), необходимо показать, что \(d_3 = d_4\):

\[\sqrt{(x_m - a)^2 + y_m^2} = \sqrt{x_m^2 + (y_m + a)^2}\]

Возведем его в квадрат:

\[(x_m - a)^2 + y_m^2 = x_m^2 + (y_m + a)^2\]

Раскроем скобки и упростим:

\[x_m^2 - 2ax_m + a^2 + y_m^2 = x_m^2 + y_m^2 + 2ay_m + a^2\]

Сократим одинаковые слагаемые:

\[-2ax_m = 2ay_m\]

Сократим на 2:

\[-ax_m = ay_m\]

Делим на \(a\):

\[-x_m = y_m\]

Меняем знак на противоположный:

\[x_m = -y_m\]

Таким образом, мы получаем уравнение:

\[x_m + y_m = 0\]

Это уравнение представляет прямую, которая содержит диагональ \(BD\) квадрата \(ABCD\). Как и прежде, это уравнение будет верно для любой точки, лежащей на диагонали \(BD\), включая нашу точку \(m\). Следовательно, точка \(m\) принадлежит диагонали \(BD\).

Таким образом, мы успешно доказали, что точка \(m\) принадлежит диагонали \(AC\) и \(BD\) квадрата \(ABCD\).