Необходимо доказать, что отрезок АС является перпендикуляром к плоскости треугольника ABC, проведенным из середины

Чтобы доказать, что отрезок \(AC\) является перпендикуляром к плоскости треугольника \(ABC\), проведенным из середины стороны, мы можем использовать следующий метод.

Шаг 1: Построение середины стороны

Сначала построим середину стороны \(BC\) треугольника \(ABC\) и обозначим её как точку \(M\). Для этого мы можем воспользоваться теоремой о серединах отрезков, которая гласит, что середина отрезка соединяет середины двух других отрезков.

Шаг 2: Построение векторов

Теперь построим векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AM}\) с началом в точке \(A\) и концами в точках \(C\) и \(M\) соответственно. Обозначим эти векторы как \(\vec{AC}\) и \(\vec{AM}\).

Шаг 3: Проверка перпендикулярности

Для того чтобы проверить, является ли отрезок \(AC\) перпендикулярным к плоскости треугольника \(ABC\), проведенным из середины стороны \(BC\), нам нужно убедиться, что вектор \(\vec{AC}\) ортогонален вектору \(\vec{AM}\).

Используемое свойство:
Две вектора \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) являются ортогональными (перпендикулярными) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Шаг 4: Проверка скалярного произведения

Рассчитаем скалярное произведение векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{AM}\) с помощью формулы скалярного произведения:
\[
\vec{AC} \cdot \vec{AM} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AM}| \cdot \cos(\angle CAM)
\]

Если скалярное произведение равно нулю, то отрезок \(AC\) является перпендикуляром к плоскости треугольника \(ABC\) проведенным из середины стороны \(BC\).

Подставим значения в формулу:
\[
\vec{AC} \cdot \vec{AM} = |AC| \cdot |AM| \cdot \cos(\angle CAM)
\]

\(\angle CAM\) - угол между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{AM}\).

Шаг 5: Заключение

Если скалярное произведение \(\vec{AC} \cdot \vec{AM}\) равно нулю, то отрезок \(AC\) является перпендикуляром к плоскости треугольника \(ABC\) проведенным из середины стороны \(BC\).

Однако, для полного доказательства, необходимо также обосновать, что векторы \(\vec{AC}\) и \(\vec{AM}\) действительно соответствуют отрезкам \(AC\) и \(AM\). Это можно сделать, выразив эти векторы через координаты точек \(A\), \(C\) и \(M\), и удостоверившись, что они действительно совпадают с заданными отрезками.