Какова высота прямоугольной трапеции, если радиус окружности, вписанной в нее, равен

Чтобы решить эту задачу и найти высоту прямоугольной трапеции, мы должны знать радиус окружности, вписанной в нее, и основания трапеции. Давайте обозначим данные величины и воспользуемся некоторыми свойствами фигур.

Пусть \(r\) - радиус окружности, \(AB\) и \(CD\) - основания трапеции, \(E\) - точка касания радиуса окружности с отрезком \(AB\) (высота), \(O\) - центр окружности.

Так как окружность вписана в трапецию, то все четыре боковые стороны трапеции касаются окружности. Следовательно, отрезок \(AE\) равен отрезку \(BE\) и отрезок \(DE\) равен отрезку \(CE\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABO\). Известно, что радиус окружности, проведенный к точке касания, является перпендикуляром к основанию трапеции. Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника: \(ABO\) и \(EDO\), где гипотенузы этих треугольников - это радиус окружности, а катеты - это высоты трапеции \(AE\) и \(DE\).

Применяя теорему Пифагора для каждого из этих треугольников, мы получаем следующие уравнения:

\[
AO^2 = AB^2 - BO^2 \quad \text{(1)}
\]
\[
EO^2 = DE^2 - DO^2 \quad \text{(2)}
\]

Так как отрезок \(AE\) равен отрезку \(BE\), можно записать:

\[
AB = AE + BE = AE + AE = 2 \cdot AE
\]

Из этого следует:

\[
AB^2 = 4 \cdot AE^2
\]

Подставив это выражение в уравнение (1), получим:

\[
AO^2 = 4 \cdot AE^2 - BO^2 \quad \text{(3)}
\]

Аналогично, поскольку отрезок \(DE\) равен отрезку \(CE\), можно записать:

\[
CD = DE + CE = DE + DE = 2 \cdot DE
\]

Тогда:

\[
CD^2 = 4 \cdot DE^2
\]

И подставив это в уравнение (2), мы получим:

\[
EO^2 = 4 \cdot DE^2 - DO^2 \quad \text{(4)}
\]

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADO\), где гипотенуза - это радиус окружности, а катеты - это отрезки \(AO\) и \(DO\). По теореме Пифагора для этого треугольника имеем:

\[
DO^2 + AO^2 = AD^2
\]

Значение \(AD\) равно сумме оснований трапеции:

\[
AD = AB + CD
\]

Тогда:

\[
AD^2 = AB^2 + 2 \cdot AB \cdot CD + CD^2
\]

Подставим в это выражение значения из уравнений (3) и (4):

\[
DO^2 + AO^2 = 4 \cdot AE^2 - BO^2 + 2 \cdot (2 \cdot AE) \cdot (2 \cdot DE) + 4 \cdot DE^2
\]

Обратите внимание, что \(2 \cdot (2 \cdot AE) \cdot (2 \cdot DE) = 8 \cdot AE \cdot DE\). Продолжим упрощение:

\[
DO^2 + AO^2 = 12 \cdot AE^2 + 8 \cdot AE \cdot DE - BO^2 \quad \text{(5)}
\]

Теперь задача сводится к нахождению выражения для \(DO^2\). Обратимся к основной задаче.

Поскольку \(\text{ТP}\) является прямоугольной трапецией, то основания \(AB\) и \(CD\) параллельны и перпендикулярны боковым сторонам \(AD\) и \(BC\). Значит, отрезки \(AO\) и \(DO\) являются высотами прямоугольных треугольников \(ABO\) и \(CDO\) соответственно. Так как \(ABO\) и \(CDO\) имеют общий катет \(AO\), они являются подобными, и отношение длин их гипотенуз равно отношению этого катета к соответствующим гипотенузам. То есть:

\[
\frac{DO}{r} = \frac{AD}{AB}
\]

Поскольку \(AD = AB + CD\), можем записать:

\[
\frac{DO}{r} = \frac{AB + CD}{AB}
\]

Теперь выразим в этом уравнении \(DO\):

\[
DO = r \cdot \left(1 + \frac{CD}{AB}\right)
\]

А также заметим, что \(\frac{CD}{AB} = \frac{CD}{2 \cdot AE}\), так как \(AB = 2 \cdot AE\). Тогда:

\[
DO = r \cdot \left(1 + \frac{CD}{2 \cdot AE}\right)
\]

Теперь подставим это значение \(DO\) в уравнение (5) и получим:

\[
r^2 \cdot \left(1 + \frac{CD}{2 \cdot AE}\right)^2 + AO^2 = 12 \cdot AE^2 + 8 \cdot AE \cdot DE - BO^2
\]

У нас есть уравнение, зависящее только от известных данных. Подставьте конкретные значения и решите его, чтобы найти высоту прямоугольной трапеции.