Необходимо доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, где A(1;4), B(5;5), C(6;2), D(2;1). Кроме

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам необходимо проверить два условия:

1. Проверить, что противоположные стороны параллельны.
2. Проверить, что противоположные стороны равны по длине.

Для начала, найдем векторы AB и CD.

Вектор AB вычисляется как разность координат точек B и A:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (5 - 1, 5 - 4) = (4, 1)\)

Вектор CD вычисляется как разность координат точек D и C:

\(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} = (2 - 6, 1 - 2) = (-4, -1)\)

Следующим шагом проверим, что векторы AB и CD параллельны.

Для этого рассмотрим отношение их координат:

\(\frac{\Delta x_{AB}}{\Delta y_{AB}} = \frac{4}{1} = 4\)

\(\frac{\Delta x_{CD}}{\Delta y_{CD}} = \frac{-4}{-1} = 4\)

Как видим, отношение координат векторов AB и CD одинаковое, поэтому они параллельны.

Теперь проверим, что противоположные стороны равны по длине.

Длина вектора AB вычисляется по формуле:

\(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{{\Delta x_{AB}}^2 + {\Delta y_{AB}}^2} = \sqrt{{4}^2 + {1}^2} = \sqrt{17}\)

Длина вектора CD вычисляется по формуле:

\(\|\overrightarrow{CD}\| = \sqrt{{\Delta x_{CD}}^2 + {\Delta y_{CD}}^2} = \sqrt{{-4}^2 + {-1}^2} = \sqrt{17}\)

Как видим, длина векторов AB и CD равна \(\sqrt{17}\).

Итак, мы доказали, что противоположные стороны параллельны и равны по длине, что означает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Теперь перейдем к вычислению длин оставшихся векторов AC и BD.

Вектор AC вычисляется как разность координат точек C и A:

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (6 - 1, 2 - 4) = (5, -2)\)

Длина вектора AC:

\(\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{{\Delta x_{AC}}^2 + {\Delta y_{AC}}^2} = \sqrt{{5}^2 + {(-2)}^2} = \sqrt{29}\)

Вектор BD вычисляется как разность координат точек D и B:

\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} = (2 - 5, 1 - 5) = (-3, -4)\)

Длина вектора BD:

\(\|\overrightarrow{BD}\| = \sqrt{{\Delta x_{BD}}^2 + {\Delta y_{BD}}^2} = \sqrt{{(-3)}^2 + {(-4)}^2} = \sqrt{25} = 5\)

Таким образом, длины векторов AC и BD равны соответственно \(\sqrt{29}\) и 5.

Доказав, что противоположные стороны параллельны и равны по длине, мы подтверждаем, что четырехугольник ABCD является параллелограммом. Кроме того, мы вычислили длины векторов AC и BD, которые составляют \(\sqrt{29}\) и 5 соответственно.