Необходимо доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, где A(1;4), B(5;5), C(6;2), D(2;1). Кроме

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам необходимо проверить два условия:

1. Проверить, что противоположные стороны параллельны.
2. Проверить, что противоположные стороны равны по длине.

Для начала, найдем векторы AB и CD.

Вектор AB вычисляется как разность координат точек B и A:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(5-1,5-4)=(4,1)$

Вектор CD вычисляется как разность координат точек D и C:

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C}=(2-6,1-2)=(-4,-1)$

Следующим шагом проверим, что векторы AB и CD параллельны.

Для этого рассмотрим отношение их координат:

$\frac{\mathrm{\Delta }{x}_{AB}}{\mathrm{\Delta }{y}_{AB}}=\frac{4}{1}=4$

$\frac{\mathrm{\Delta }{x}_{CD}}{\mathrm{\Delta }{y}_{CD}}=\frac{-4}{-1}=4$

Как видим, отношение координат векторов AB и CD одинаковое, поэтому они параллельны.

Теперь проверим, что противоположные стороны равны по длине.

Длина вектора AB вычисляется по формуле:

$\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{{\mathrm{\Delta }{x}_{AB}}^2+{\mathrm{\Delta }{y}_{AB}}^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$

Длина вектора CD вычисляется по формуле:

$\Vert \overrightarrow{CD}\Vert =\sqrt{{\mathrm{\Delta }{x}_{CD}}^2+{\mathrm{\Delta }{y}_{CD}}^2}=\sqrt{{-4}^2+{-1}^2}=\sqrt{17}$

Как видим, длина векторов AB и CD равна $\sqrt{17}$.

Итак, мы доказали, что противоположные стороны параллельны и равны по длине, что означает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Теперь перейдем к вычислению длин оставшихся векторов AC и BD.

Вектор AC вычисляется как разность координат точек C и A:

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=(6-1,2-4)=(5,-2)$

Длина вектора AC:

$\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\sqrt{{\mathrm{\Delta }{x}_{AC}}^2+{\mathrm{\Delta }{y}_{AC}}^2}=\sqrt{5^2+{(-2)}^2}=\sqrt{29}$

Вектор BD вычисляется как разность координат точек D и B:

$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{B}=(2-5,1-5)=(-3,-4)$

Длина вектора BD:

$\Vert \overrightarrow{BD}\Vert =\sqrt{{\mathrm{\Delta }{x}_{BD}}^2+{\mathrm{\Delta }{y}_{BD}}^2}=\sqrt{{(-3)}^2+{(-4)}^2}=\sqrt{25}=5$

Таким образом, длины векторов AC и BD равны соответственно $\sqrt{29}$ и 5.

Доказав, что противоположные стороны параллельны и равны по длине, мы подтверждаем, что четырехугольник ABCD является параллелограммом. Кроме того, мы вычислили длины векторов AC и BD, которые составляют $\sqrt{29}$ и 5 соответственно.