Небольшой блок массой 400 г находится на конце длинной планки массой 1 кг, которая лежит на гладкой поверхности стола

а) Для определения величины ускорения блока относительно планки, мы можем использовать второй закон Ньютона, который утверждает, что сила, действующая на тело, равна произведению его массы на ускорение. Мы можем записать это следующим образом:

\[F_{\text{тр}} = m \cdot a\]

где \(F_{\text{тр}}\) - сила трения, \(m\) - масса блока.

Для нахождения силы трения, мы можем использовать коэффициент трения (\(\mu\)) и нормальную силу (\(N\)). Нормальная сила равна произведению массы планки на ускорение свободного падения (\(g\)):

\[N = m_{\text{пл}} \cdot g\]

Теперь, мы можем выразить силу трения:

\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot N\]

Подставим выражение для нормальной силы:

\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot m_{\text{пл}} \cdot g\]

Теперь мы можем записать уравнение второго закона Ньютона для блока:

\[F_{\text{тр}} = m \cdot a\]

Подставим значение силы трения:

\[\mu \cdot m_{\text{пл}} \cdot g = m \cdot a\]

Теперь нам известны значения коэффициента трения (\(\mu\)), массы планки (\(m_{\text{пл}}\)), и ускорение свободного падения (\(g\)). Отсюда мы можем выразить ускорение блока:

\[a = \frac{{\mu \cdot m_{\text{пл}} \cdot g}}{{m}}\]

b) Чтобы определить начальную скорость блока, мы можем использовать уравнение движения тела:

\[v = u + at\]

где \(v\) - конечная скорость блока и планки (которая становится нулевой, когда они двигаются вместе), \(u\) - начальная скорость блока, \(a\) - ускорение блока, \(t\) - время движения.

Заменим известные значения: \(v = 0\) (так как скорость становится нулевой), \(a\) вычислили в предыдущем пункте, \(t = 0,6\) секунды. Решим уравнение относительно \(u\):

\[u = -at\]

Поскольку блок и планка двигаются в одном направлении, начальная скорость будет отрицательной.

c) Минимальная возможная длина планки равна расстоянию от центра масс блока до точки опоры планки. Если блок и планка двигаются вместе как одно целое, значит сумма моментов сил равна нулю. Мы можем записать это следующим образом:

\[m \cdot g \cdot \frac{l}{2} = m_{\text{пл}} \cdot g \cdot \frac{l}{2}\]

где \(m\) - масса блока, \(g\) - ускорение свободного падения, \(m_{\text{пл}}\) - масса планки, \(l\) - длина планки.

Отсюда мы можем сократить массу блока и ускорение свободного падения:

\[l = l_{\text{мин}} = \frac{m_{\text{пл}}}{m} \cdot l_{\text{пл}}\]

d) Чтобы определить скорость планки с блоком, когда они двигаются вместе, мы можем использовать закон сохранения импульса.

Импульс - это произведение массы на скорость. Мы можем записать закон сохранения импульса следующим образом:

\[m_{\text{пл}} \cdot v_{\text{пл}} + m \cdot v = 0\]

где \(m_{\text{пл}}\) - масса планки, \(v_{\text{пл}}\) - скорость планки с блоком, \(m\) - масса блока, \(v\) - скорость блока.

Отсюда мы можем выразить \(v_{\text{пл}}\):

\[v_{\text{пл}} = -\frac{m}{m_{\text{пл}}} \cdot v\]

Также, учитывая, что скорость блока равна начальной скорости \(u\) (из пункта b), мы можем записать:

\[v_{\text{пл}} = -\frac{m}{m_{\text{пл}}} \cdot u\]

Это дает нам значение скорости планки с блоком, когда они двигаются вместе.