Найти все значения x, удовлетворяющие уравнению 3^3cosx-cos2x=1/3 и находящиеся в пределах отрезка [-0.5π, 0.5π

Хорошо, начнем с решения уравнения. У нас есть уравнение:

\[3^3\cos(x) - \cos(2x) = \frac{1}{3}\]

Давайте решим его шаг за шагом:

1. Начнем с упрощения выражения \(\cos(2x)\). Мы можем воспользоваться тригонометрической формулой двойного угла: \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\).

Подставляя это выражение в уравнение, получаем:

\[3^3\cos(x) - (2\cos^2(x) - 1) = \frac{1}{3}\]

Упрощаем:

\[27\cos(x) - 2\cos^2(x) + 1 = \frac{1}{3}\]

2. Теперь приведем это уравнение к квадратному виду, чтобы получить все значения \(x\). Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

\[2\cos^2(x) - 27\cos(x) + \frac{2}{3} = 0\]

3. Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение общего вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 2\), \(b = -27\), \(c = \frac{2}{3}\).

Воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы найти корни:

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\)

Подставляем значения:

\(D = (-27)^2 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{2}{3}\)

\(D = 729 - \frac{16}{3}\)

\(D = \frac{2187}{3} - \frac{16}{3}\)

\(D = \frac{2171}{3}\)

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различных решения.

Используем формулу корней квадратного уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляем значения:

\[x_1 = \frac{27 + \sqrt{\frac{2171}{3}}}{4}\]
\[x_2 = \frac{27 - \sqrt{\frac{2171}{3}}}{4}\]

4. Проверим, находятся ли решения в пределах заданного интервала от \(-0.5\pi\) до \(0.5\pi\).

Для этого подставим значения \(x_1\) и \(x_2\) в интервал:

\(-0.5\pi \leq x_1 \leq 0.5\pi\)

\(-0.5\pi \leq x_2 \leq 0.5\pi\)

Если значения \(x_1\) и \(x_2\) удовлетворяют этим неравенствам, то они входят в заданный интервал.

5. Вычислим численные значения \(x_1\) и \(x_2\) и проверим их соответствие интервалу.

\[x_1 \approx -0.097\pi\]
\[x_2 \approx 0.170\pi\]

Поскольку \(-0.5\pi \leq -0.097\pi \leq 0.5\pi\) и \(-0.5\pi \leq 0.170\pi \leq 0.5\pi\), оба значения удовлетворяют заданному интервалу.

Итак, все значения \(x\), удовлетворяющие уравнению \(3^3\cos(x)-\cos(2x)=\frac{1}{3}\) и находящиеся в пределах отрезка \([-0.5\pi, 0.5\pi]\), составляют: \(-0.097\pi\) и \(0.170\pi\).