Найти вероятность того, что значение случайной величины х, имеющей показательное распределение, будет меньше или равно

Для решения этой задачи, нам понадобится знание о показательном распределении. Показательное распределение является частным случаем экспоненциального распределения и широко используется для моделирования времени между последовательными событиями.

Показательное распределение характеризуется единственным параметром, называемым интенсивностью или обратной средней продолжительностью событий. Обозначим его как \(\lambda\), где \(\lambda > 0\).

Теперь, для решения первой части задачи, нам нужно найти вероятность того, что значение случайной величины \(x\) будет меньше или равно 20.

Для нахождения этой вероятности, мы можем использовать функцию распределения показательного распределения. Функция распределения показательного распределения задается следующей формулой:

\[F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\]

где \(F(x)\) - функция распределения, \(x\) - значение случайной величины, \(\lambda\) - интенсивность показательного распределения.

В нашем случае, нам задано, что значение случайной величины должно быть меньше или равно 20. То есть нам нужно найти вероятность \(P(x \leq 20)\).

Подставляя \(x = 20\) в формулу функции распределения, получаем:

\[F(20) = 1 - e^{-\lambda \cdot 20}\]

Вторая часть задачи требует нахождения вероятности того, что время обнаружения цели радиолокатором будет находиться в диапазоне от 5 до 15 секунд после начала поиска. Нам также задано, что среднее время обнаружения цели равно \(\frac{1}{\lambda}\) (обратная интенсивность показательного распределения).

Для решения этой задачи, используем формулу разности функций распределения:

\[P(5 \leq x \leq 15) = F(15) - F(5)\]

Теперь имея общие формулы, нужно найти значения интенсивности показательного распределения (\(\lambda\)) и значения функций распределения (\(F(x)\)).

Давайте предположим, что нам дано среднее время обнаружения цели равное \(T\) секундам.

Тогда, интенсивность показательного распределения (\(\lambda\)) может быть найдена по формуле:

\(\lambda = \frac{1}{T}\)

Используя данное значение интенсивности (\(\lambda\)), мы можем найти значения функций распределения с помощью формулы:

\[F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\]

Теперь, чтобы окончательно решить задачу, нужно подставить значения в формулы:

1. Вероятность \(P(x \leq 20)\):

\[F(20) = 1 - e^{-\lambda \cdot 20}\]

2. Вероятность \(P(5 \leq x \leq 15)\):

\[P(5 \leq x \leq 15) = F(15) - F(5)\]