Найти уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка ав и перпендикулярно к нему, если а (2; -1; 4), в

Для начала найдем координаты середины отрезка \(\overrightarrow{AB}\). Для этого найдем среднее арифметическое значений координат вершин отрезка. Пусть координаты вершин отрезка \(\overrightarrow{AB}\) будут \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\). Тогда координаты середины отрезка \(\overrightarrow{AB}\) будут:

\[
x_{mid} = \frac{{x_1 + x_2}}{2}, \quad y_{mid} = \frac{{y_1 + y_2}}{2}, \quad z_{mid} = \frac{{z_1 + z_2}}{2}
\]

В нашем случае точка \(A\) имеет координаты \((2, -1, 4)\), а точка \(B\) имеет координаты \((0, 3, -2)\). Подставим значения в формулы:

\[
x_{mid} = \frac{{2 + 0}}{2} = 1, \quad y_{mid} = \frac{{-1 + 3}}{2} = 1, \quad z_{mid} = \frac{{4 + (-2)}}{2} = 1
\]

Таким образом, координаты середины отрезка \(\overrightarrow{AB}\) будут \((1, 1, 1)\).

Далее, нам необходимо найти нормаль к данному отрезку. Нормалью к отрезку является вектор, перпендикулярный к нему. Для нахождения нормали воспользуемся следующей формулой:

\[
\vec{n} = \begin{pmatrix}
x_1 - x_2 \\
y_1 - y_2 \\
z_1 - z_2 \\
\end{pmatrix}
\]

Подставим значения:

\[
\vec{n} = \begin{pmatrix}
2 - 0 \\
-1 - 3 \\
4 - (-2) \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2 \\
-4 \\
6 \\
\end{pmatrix}
\]

Теперь, чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка и перпендикулярной к нему, нам нужно использовать следующую формулу:

\[
A(x - x_m) + B(y - y_m) + C(z - z_m) = 0
\]

где \(A, B, C\) - координаты вектора нормали \(\vec{n}\), а \((x_m, y_m, z_m)\) - координаты середины отрезка \(\overrightarrow{AB}\).

Подставим все соответствующие значения:

\[
2(x - 1) - 4(y - 1) + 6(z - 1) = 0
\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[
2x - 2 - 4y + 4 + 6z - 6 = 0
\]

Упростим:

\[
2x - 4y + 6z - 4 = 0
\]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка \(\overrightarrow{AB}\) и перпендикулярной к нему, будет \(2x - 4y + 6z - 4 = 0\).