Найти уравнение для траектории (y=f(x)) точки, которая движется в горизонтальной плоскости xy под воздействием силы

Для нахождения уравнения траектории точки, которая движется в горизонтальной плоскости xy под воздействием силы притяжения к началу координат, будем использовать закон движения объекта в декартовой системе координат.

Перед тем, как начать, давайте проанализируем данную задачу и разберемся с использованными обозначениями:
- \( (x, y) \) - координаты движущейся точки;
- \( x_0 = 0 \) - начальная координата точки по оси x;
- \( y_0 = h \) - начальная координата точки по оси y;
- \( x"_0 = v_0 \) - начальная проекция скорости по оси x;
- \( y"_0 = 0 \) - начальная проекция скорости по оси y;
- k - коэффициент пропорциональности, связанный с силой притяжения;
- m - масса точки, которая движется;
- \( f(x) \) - уравнение для траектории движущейся точки.

Теперь давайте найдем уравнение траектории этой точки.

Из второго закона Ньютона мы знаем, что сила \( F \), действующая на объект, равна произведению массы \( m \) на ускорение \( a \):
\[ F = ma \]
Так как сила пропорциональна расстоянию от точки до начала координат, то можно записать:
\[ F = -k^2m r \]
где \( r \) - расстояние от точки до начала координат.

Ускорение объекта имеет две компоненты: \( a_x \) - ускорение по оси x и \( a_y \) - ускорение по оси y. Ускорение можно выразить следующим образом:
\[ a_x = \frac{{d^2x}}{{dt^2}} \]
\[ a_y = \frac{{d^2y}}{{dt^2}} \]

Так как объект движется только в плоскости xy, то ускорение вдоль оси z равно нулю (\( a_z = 0 \)). Также изначально у нас нет никаких сил, действующих по оси y, кроме силы притяжения к началу координат, поэтому \( a_y = -k^2m r \).

Из уравнений ускорений, можно получить систему дифференциальных уравнений:
\[ \frac{{d^2x}}{{dt^2}} = 0 \]
\[ \frac{{d^2y}}{{dt^2}} = -k^2m r \]

Интегрируя эти уравнения дважды, мы найдем выражения для x(t) и y(t):
\[ x(t) = x_0 + v_0 t \]
\[ y(t) = y_0 + \frac{{k^2m}}{{6}} t^2 - \frac{{k^2m}}{{3}} h t^2 \]

Обратите внимание, что рассматривается движение только в момент падения, поэтому начальная скорость по оси y равна нулю.

Теперь, чтобы выразить y через x, заменим \( t \) в уравнении для \( y(t) \) на \( \frac{{x - x_0}}{{v_0}} \):
\[ y(x) = y_0 + \frac{{k^2m}}{{6}} \left(\frac{{x - x_0}}{{v_0}}\right)^2 - \frac{{k^2m}}{{3}} h \left(\frac{{x - x_0}}{{v_0}}\right)^2 \]

Это и есть искомое уравнение траектории (y = f(x)) для точки, движущейся под воздействием силы притяжения к началу координат.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять и решить данную задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!