Найти угол в треугольнике мнр, где координаты вершин заданы как m(-3; -2), n(1; 4), p(2

Для нахождения угла в треугольнике МНР с заданными координатами вершин М(-3; -2), Н(1; 4), Р(2; -1) можно воспользоваться формулой для нахождения угла между двумя векторами.

Шаг 1: Найдем вектора \(\overrightarrow{МН}\) и \(\overrightarrow{МР}\).
Для этого используем формулу:
\(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)\)

Вектор \(\overrightarrow{МН}\):
\(\overrightarrow{МН} = (1 - (-3); 4 - (-2)) = (4; 6)\)

Вектор \(\overrightarrow{МР}\):
\(\overrightarrow{МР} = (2 - (-3); (-1) - (-2)) = (5; 1)\)

Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{МН}\) и \(\overrightarrow{МР}\).
Для этого используем формулу:
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\)

Скалярное произведение \(\overrightarrow{МН}\) и \(\overrightarrow{МР}\):
\(\overrightarrow{МН} \cdot \overrightarrow{МР} = 4 \cdot 5 + 6 \cdot 1 = 20 + 6 = 26\)

Шаг 3: Вычислим длины векторов \(\overrightarrow{МН}\) и \(\overrightarrow{МР}\).
Для этого используем формулу:
\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

Длина вектора \(\overrightarrow{МН}\):
\(|\overrightarrow{МН}| = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\)

Длина вектора \(\overrightarrow{МР}\):
\(|\overrightarrow{МР}| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\)

Шаг 4: Вычислим значение косинуса угла между векторами \(\overrightarrow{МН}\) и \(\overrightarrow{МР}\).
Для этого используем формулу:
\(\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{МН} \cdot \overrightarrow{МР}}{|\overrightarrow{МН}| \cdot |\overrightarrow{МР}|}\)

Значение косинуса угла \(\alpha\):
\(\cos(\alpha) = \frac{26}{2\sqrt{13} \cdot \sqrt{26}} = \frac{26}{2\sqrt{338}} = \frac{13}{\sqrt{338}}\)

Таким образом, значение косинуса угла \(\alpha\) равно \(\frac{13}{\sqrt{338}}\).

Шаг 5: Используем косинусные таблицы или калькулятор с функцией обратного косинуса, чтобы найти значение угла \(\alpha\).
Находим \(\alpha = \arccos\left(\frac{13}{\sqrt{338}}\right)\)

Вычисляем значение угла \(\alpha\) примерно:
\(\alpha \approx 77.68^\circ\)

Таким образом, угол в треугольнике МНР составляет примерно \(77.68^\circ\).