Найти угол в кубе abcda1b1c1d1, когда точки k l m делят ребра AK, KA1, D1L, LA1, B1M и MA1 в отношении

Задача: Найти угол в кубе $abcd{a}_1{b}_1{c}_1{d}_1$, когда точки $k,l,m$ делят ребра $AK,K{A}_1,D_{1}L,L{A}_1,B_{1}M$ и $M{A}_1$ в отношении.

Для начала, давайте разберемся с тем, какие длины имеют данные отрезки. В кубе все стороны равны друг другу, поэтому длина ребра будет обозначаться как $a$ (например, сторона $AB$).

Таким образом, длина всех ребер будет равна $a$, а длина всех представленных отрезков будет равна $\frac{a}{n}$, где $n$ - отношение, заданное в условии задачи.

Для простоты, давайте представим данный куб на координатной плоскости, где точка $a$ будет иметь координаты $(0,0,0)$, а остальные вершины будут соответствовать координатам пар обозначенных букв в названии вершины. Таким образом, координаты точки $b$ будут $(a,0,0)$, точки $c$ - $(a,a,0)$, и так далее.

Теперь, определим координаты точек $k,l,m$ с помощью представленных отношений.

Координаты точки $k$ будут иметь вид $(x_1,0,0)$, где $x_1$ - длина отрезка $AK$. Так как $AK$ делится в отношении $\frac{1}{n}$, мы можем записать:

$$x_1=\frac{a}{n}$$

Аналогичным образом, координаты точки $l$ и $m$ будут иметь вид $(0,y_1,0)$ и $(0,0,z_1)$ соответственно, где $y_1=\frac{a}{n}$ и $z_1=\frac{a}{n}$.

Теперь, пусть $A_1$ будет иметь координаты $(0,a,0)$, аналогично остальные вершины будут иметь координаты, аналогичные вершинам $a,b,c,d$. То есть точка $b_1$ будет иметь координаты $(a,a,a)$, точка $c_1$ - $(a,0,a)$, а точка $d_1$ - $(0,0,a)$.

Теперь, определим координаты точек $k,l,m$ на отрезках $K{A}_1$, $D_{1}L$ и $B_{1}M$ соответственно.

Для отрезка $K{A}_1$, координаты точки $k$ будут иметь вид $(x_2,a,0)$, где $x_2$ - длина отрезка $K{A}_1$. Так как отрезок $K{A}_1$ делится в отношении $\frac{1}{n}$, мы можем записать:

$$x_2=\frac{a}{n}$$

Аналогично, координаты точек $l$ и $m$ на отрезках $D_{1}L$ и $B_{1}M$ будут иметь вид $(0,y_2,a)$ и $(z_2,0,a)$ соответственно, где $y_2=\frac{a}{n}$ и $z_2=\frac{a}{n}$.

Теперь у нас есть координаты точек $k,l,m$ на всех ребрах куба $abcd{a}_1{b}_1{c}_1{d}_1$. Для нахождения угла между данными точками, мы можем воспользоваться формулой косинуса.

Пусть $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$ - векторы, образованные точками $k$ и $l$, а $\overrightarrow{w}$ и $\overrightarrow{u}$ - векторы, образованные точками $l$ и $m$.

Тогда, мы можем найти косинус угла $\theta$ между векторами $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{w}$ с помощью формулы:

$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{w}|}$$

где $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}$ - скалярное произведение векторов $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{w}$, а $|\overrightarrow{u}|$ и $|\overrightarrow{w}|$ - длины этих векторов.

Подставив значения векторов $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{w}$ и их длин, получим:

$$\cos \theta =\frac{\frac{a}{n}\cdot \frac{a}{n}+\frac{a}{n}\cdot \frac{a}{n}+0\cdot 0}{\sqrt{{\left(\frac{a}{n}\right)}^2+{\left(\frac{a}{n}\right)}^2+0^2}\cdot \sqrt{{\left(\frac{a}{n}\right)}^2+{\left(\frac{a}{n}\right)}^2+a^2}}$$

упрощая выражение, получим:

$$\cos \theta =\frac{\frac{a^2}{n^2}}{\sqrt{2\left(\frac{a^2}{n^2}\right)+a^2}\cdot \sqrt{2\left(\frac{a^2}{n^2}\right)+a^2}}$$

Таким образом, мы нашли косинус угла $\theta$ между данными точками. Для нахождения самого угла, мы можем использовать обратную функцию косинуса:

$$\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{\frac{a^2}{n^2}}{\sqrt{2\left(\frac{a^2}{n^2}\right)+a^2}\cdot \sqrt{2\left(\frac{a^2}{n^2}\right)+a^2}}\right)$$

Таким образом, мы находим угол $\theta$ между точками $k,l$ и $m$ в кубе $abcd{a}_1{b}_1{c}_1{d}_1$ при заданных отношениях.