Найти угол между прямой АС и плоскостью (ВDC) в треугольнике АВС, где угол Б является прямым углом, ВС = 2, проекцией

Чтобы найти угол между прямой АС и плоскостью (ВDC), нам необходимо учитывать угол между прямой и плоскостью. Для этого мы можем воспользоваться уравнением плоскости и формулой для нахождения угла между прямой и плоскостью.

Для начала, давайте введем некоторые обозначения:
- Плоскость (ВDC) обозначим как плоскость P.
- Прямую АС обозначим как линию d.
- Вектор нормали плоскости P обозначим как \(\vec{n}\).
- Угол между плоскостью (АВС) и (ВСD) обозначим как угол α.

Для нахождения единичного вектора нормали плоскости P, нужно знать её коэффициенты. У нас есть треугольник ВDC с АD = √2 и ВС = 2, поэтому мы можем найти векторы AB, AC и BC.

\[AB = B - A = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}\]\[AC = C - A = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]\[BC = C - B = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}\]

Теперь мы можем найти вектор нормали плоскости P, находящейся вдоль прямой (векторное произведение векторов AB и AC):

\[\vec{n} = AB \times AC = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -4 \end{bmatrix}\]

Теперь, для определения угла между прямой АС и плоскостью (ВDC), мы можем воспользоваться формулой:

\[\sin(\alpha) = \frac{{|\vec{n} \cdot \vec{d}|}}{{|\vec{n}| \cdot |\vec{d}|}}\]

где \(\vec{d}\) - это любой вектор, направленный вдоль прямой АС. Давайте возьмем вектор AD, так как мы знаем его координаты:

\(\vec{d} = AD = \begin{bmatrix} \sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

Подставляя все значения в уравнение, получим:

\[\sin(\alpha) = \frac{{|\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}|}}{{|\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -4 \end{bmatrix}| \cdot |\begin{bmatrix} \sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}|}}\]

\[\sin(\alpha) = \frac{{|-4 \cdot \sqrt{2}|}}{{4 \cdot \sqrt{2}}}\]

\[\sin(\alpha) = \frac{{-4 \cdot \sqrt{2}}}{{4 \cdot \sqrt{2}}}\]

\[\sin(\alpha) = -\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\]

Теперь нам нужно найти сам угол. Известно, что значение синуса угла равно отношению противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Зная, что \(\sin(\alpha) = -\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\), и угол Б является прямым углом, можно определить, что угол α составляет -45 градусов или -π/4 радиан.

Таким образом, угол между прямой АС и плоскостью (ВDC) в данном треугольнике равен -45 градусам или -π/4 радиан.