Найти сколько существует различных целочисленных матриц x, все элементы которых находятся в интервале [−100000, 100000] и удовлетворяют следующему соотношению:
⎡ ⎢ ⎣ 7 9 9 7 2 3 1 1 1 1 3 3 ⎤ ⎥ ⎦ x = ⎡ ⎢ ⎣ 7 7 0 4 3 −1 ⎤ ⎥ ⎦
Введите ответ (целое число) — количество различных матриц.
⎡ ⎢ ⎣ 7 9 9 7 2 3 1 1 1 1 3 3 ⎤ ⎥ ⎦ x = ⎡ ⎢ ⎣ 7 7 0 4 3 −1 ⎤ ⎥ ⎦
Введите ответ (целое число) — количество различных матриц.
Ангелина
Чтобы найти количество различных целочисленных матриц, которые удовлетворяют данному соотношению, мы можем воспользоваться методом обратной матрицы.
Для начала, давайте определим матрицу \(A\) в соответствии с данным соотношением:
\[ A = \begin{pmatrix} 7 & 9 & 9 \\ 7 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \]
А также матрицу \(B\):
\[ B = \begin{pmatrix} 7 & 7 & 0 \\ 4 & 3 & -1 \end{pmatrix} \]
Теперь, мы можем найти обратную матрицу \(A^{-1}\) для матрицы \(A\). Обратная матрица \(A^{-1}\) существует только в том случае, если матрица \(A\) является квадратной матрицей и её определитель не равен нулю.
Посчитаем определитель матрицы \(A\):
\[ \text{det}(A) = (7 \cdot 2 \cdot 1) + (9 \cdot 3 \cdot 1) + (9 \cdot 1 \cdot 3) - (7 \cdot 3 \cdot 3) - (2 \cdot 1 \cdot 9) - (1 \cdot 9 \cdot 1) = 14 + 27 + 27 - 63 - 18 - 9 = -22 \]
Определитель отличный от нуля, поэтому обратная матрица \(A^{-1}\) существует.
Теперь, мы можем вычислить обратную матрицу \(A^{-1}\), используя формулу:
\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) \]
Где \(\text{adj}(A)\) — это матрица алгебраических дополнений, которая состоит из миноров элементов матрицы \(A\), транспонированных и умноженных на знаки.
\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}^T \]
Где \(A_{ij}\) — это алгебраическое дополнение элемента \(a_{ij}\), которое можно найти как:
\[ A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \text{det}(M_{ij}) \]
Где \(M_{ij}\) — это минор элемента \(a_{ij}\), который представляет собой матрицу, полученную из матрицы \(A\) путем удаления \(i\)-й строки и \(j\)-го столбца.
Давайте найдём минорматрицы и алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы \(A\):
\[ M_{11} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad M_{12} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad M_{13} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad M_{21} = \begin{pmatrix} 9 & 9 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad M_{22} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad M_{23} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad M_{31} = \begin{pmatrix} 9 & 9 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad M_{32} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad M_{33} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \]
Теперь, найдём алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы \(A\):
\[ A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \text{det}(M_{11}) = (-1)^{2} \cdot (2 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = -1 \]
\[ A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \text{det}(M_{12}) = (-1)^{3} \cdot (7 \cdot 1 - 9 \cdot 1) = 2 \]
\[ A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \text{det}(M_{13}) = (-1)^{4} \cdot (7 \cdot 3 - 9 \cdot 1) = -12 \]
\[ A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \text{det}(M_{21}) = (-1)^{3} \cdot (9 \cdot 1 - 9 \cdot 1) = 0 \]
\[ A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \text{det}(M_{22}) = (-1)^{4} \cdot (7 \cdot 3 - 9 \cdot 1) = -12 \]
\[ A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \text{det}(M_{23}) = (-1)^{5} \cdot (7 \cdot 1 - 9 \cdot 1) = 2 \]
\[ A_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \text{det}(M_{31}) = (-1)^{4} \cdot (9 \cdot 3 - 9 \cdot 2) = 9 \]
\[ A_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \text{det}(M_{32}) = (-1)^{5} \cdot (7 \cdot 3 - 9 \cdot 1) = 2 \]
\[ A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \text{det}(M_{33}) = (-1)^{6} \cdot (7 \cdot 3 - 9 \cdot 2) = -3 \]
Теперь, мы можем найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы \(A\) и составить матрицу алгебраических дополнений \(\text{adj}(A)\):
\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 9 \\ 2 & -12 & 2 \\ -12 & 2 & -3 \end{pmatrix} \]
Теперь, мы можем найти обратную матрицу \(A^{-1}\), используя формулу:
\[ A^{-1} = \frac{1}{-22} \cdot \text{adj}(A) \]
Выполняя вычисления, получаем:
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{22} & 0 & \frac{-9}{22} \\ \frac{-2}{22} & \frac{12}{22} & \frac{-2}{22} \\ \frac{12}{22} & \frac{-2}{22} & \frac{3}{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{22} & 0 & \frac{-9}{22} \\ \frac{-1}{11} & \frac{6}{11} & \frac{-1}{11} \\ \frac{6}{11} & \frac{-1}{11} & \frac{3}{22} \end{pmatrix} \]
Теперь, чтобы найти количество различных матриц \(x\), которые удовлетворяют данному соотношению, мы должны умножить матрицу \(A^{-1}\) на матрицу \(B\). Результат этого умножения будет являться искомыми матрицами \(x\).
Выполнив перемножение, получаем:
\[ x = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} \frac{1}{22} & 0 & \frac{-9}{22} \\ \frac{-1}{11} & \frac{6}{11} & \frac{-1}{11} \\ \frac{6}{11} & \frac{-1}{11} & \frac{3}{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 7 & 0 \\ 4 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{22} \cdot 7 + 0 \cdot 4 + \frac{-9}{22} \cdot 0 & \frac{1}{22} \cdot 7 + 0 \cdot 3 + \frac{-9}{22} \cdot (-1) & \frac{1}{22} \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + \frac{-9}{22} \cdot (-1) \\ \frac{-1}{11} \cdot 7 + \frac{6}{11} \cdot 4 + \frac{-1}{11} \cdot 0 & \frac{-1}{11} \cdot 7 + \frac{6}{11} \cdot 3 + \frac{-1}{11} \cdot (-1) & \frac{-1}{11} \cdot 0 + \frac{6}{11} \cdot (-1) + \frac{-1}{11} \cdot (-1) \\ \frac{6}{11} \cdot 7 + \frac{-1}{11} \cdot 4 + \frac{3}{22} \cdot 0 & \frac{6}{11} \cdot 7 + \frac{-1}{11} \cdot 3 + \frac{3}{22} \cdot (-1) & \frac{6}{11} \cdot 0 + \frac{-1}{11} \cdot (-1) + \frac{3}{22} \cdot (-1) \end{pmatrix} \]
После вычислений, получаем:
\[ x = \begin{pmatrix} \frac{7}{22} & \frac{8}{22} & \frac{9}{22} \\ \frac{17}{11} & \frac{26}{11} & \frac{9}{11} \\ \frac{34}{11} & \frac{47}{11} & \frac{3}{11} \end{pmatrix} \]
Теперь, чтобы найти количество различных матриц \(x\), мы должны посчитать количество уникальных целочисленных матриц в полученной матрице.
Анализируя полученную матрицу \(x\), мы видим, что в ней есть дробные числа. Однако, задача требует найти только целочисленные матрицы, поэтому необходимо найти рациональные точки данной матрицы и определить их количество.
Мы замечаем, что некоторые числа в матрице \(x\) содержат дробную часть, например, \(\frac{7}{22}\), \(\frac{8}{22}\), \(\frac{17}{11}\) и т.д. Чтобы получить целочисленную матрицу, необходимо, чтобы все числа в матрице \(x\) имели целые значения.
Так как диапазон значений всех элементов матрицы \(x\) составляет от -100000 до 100000, чтобы найти количество возможных различных матриц \(x\), мы должны подсчитать количество рациональных точек в этом диапазоне.
Однако, это задача сложна для ручного решения, и поэтому мы воспользуемся компьютерной программой, чтобы найти количество различных рациональных точек в таком большом диапазоне.
Таким образом, чтобы найти количество различных целочисленных матриц \(x\), удовлетворяющих данному соотношению, необходимо использовать программу или алгоритм, который подсчитает количество рациональных точек в заданном диапазоне или провести численные эксперименты. Заметим, что в данном случае необходимо использование компьютера, так как число возможных матриц может быть очень большим.
Для начала, давайте определим матрицу \(A\) в соответствии с данным соотношением:
\[ A = \begin{pmatrix} 7 & 9 & 9 \\ 7 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \]
А также матрицу \(B\):
\[ B = \begin{pmatrix} 7 & 7 & 0 \\ 4 & 3 & -1 \end{pmatrix} \]
Теперь, мы можем найти обратную матрицу \(A^{-1}\) для матрицы \(A\). Обратная матрица \(A^{-1}\) существует только в том случае, если матрица \(A\) является квадратной матрицей и её определитель не равен нулю.
Посчитаем определитель матрицы \(A\):
\[ \text{det}(A) = (7 \cdot 2 \cdot 1) + (9 \cdot 3 \cdot 1) + (9 \cdot 1 \cdot 3) - (7 \cdot 3 \cdot 3) - (2 \cdot 1 \cdot 9) - (1 \cdot 9 \cdot 1) = 14 + 27 + 27 - 63 - 18 - 9 = -22 \]
Определитель отличный от нуля, поэтому обратная матрица \(A^{-1}\) существует.
Теперь, мы можем вычислить обратную матрицу \(A^{-1}\), используя формулу:
\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) \]
Где \(\text{adj}(A)\) — это матрица алгебраических дополнений, которая состоит из миноров элементов матрицы \(A\), транспонированных и умноженных на знаки.
\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}^T \]
Где \(A_{ij}\) — это алгебраическое дополнение элемента \(a_{ij}\), которое можно найти как:
\[ A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \text{det}(M_{ij}) \]
Где \(M_{ij}\) — это минор элемента \(a_{ij}\), который представляет собой матрицу, полученную из матрицы \(A\) путем удаления \(i\)-й строки и \(j\)-го столбца.
Давайте найдём минорматрицы и алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы \(A\):
\[ M_{11} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad M_{12} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad M_{13} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad M_{21} = \begin{pmatrix} 9 & 9 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad M_{22} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad M_{23} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad M_{31} = \begin{pmatrix} 9 & 9 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad M_{32} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad M_{33} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \]
Теперь, найдём алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы \(A\):
\[ A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \text{det}(M_{11}) = (-1)^{2} \cdot (2 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = -1 \]
\[ A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \text{det}(M_{12}) = (-1)^{3} \cdot (7 \cdot 1 - 9 \cdot 1) = 2 \]
\[ A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \text{det}(M_{13}) = (-1)^{4} \cdot (7 \cdot 3 - 9 \cdot 1) = -12 \]
\[ A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \text{det}(M_{21}) = (-1)^{3} \cdot (9 \cdot 1 - 9 \cdot 1) = 0 \]
\[ A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \text{det}(M_{22}) = (-1)^{4} \cdot (7 \cdot 3 - 9 \cdot 1) = -12 \]
\[ A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \text{det}(M_{23}) = (-1)^{5} \cdot (7 \cdot 1 - 9 \cdot 1) = 2 \]
\[ A_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \text{det}(M_{31}) = (-1)^{4} \cdot (9 \cdot 3 - 9 \cdot 2) = 9 \]
\[ A_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \text{det}(M_{32}) = (-1)^{5} \cdot (7 \cdot 3 - 9 \cdot 1) = 2 \]
\[ A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \text{det}(M_{33}) = (-1)^{6} \cdot (7 \cdot 3 - 9 \cdot 2) = -3 \]
Теперь, мы можем найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы \(A\) и составить матрицу алгебраических дополнений \(\text{adj}(A)\):
\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 9 \\ 2 & -12 & 2 \\ -12 & 2 & -3 \end{pmatrix} \]
Теперь, мы можем найти обратную матрицу \(A^{-1}\), используя формулу:
\[ A^{-1} = \frac{1}{-22} \cdot \text{adj}(A) \]
Выполняя вычисления, получаем:
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{22} & 0 & \frac{-9}{22} \\ \frac{-2}{22} & \frac{12}{22} & \frac{-2}{22} \\ \frac{12}{22} & \frac{-2}{22} & \frac{3}{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{22} & 0 & \frac{-9}{22} \\ \frac{-1}{11} & \frac{6}{11} & \frac{-1}{11} \\ \frac{6}{11} & \frac{-1}{11} & \frac{3}{22} \end{pmatrix} \]
Теперь, чтобы найти количество различных матриц \(x\), которые удовлетворяют данному соотношению, мы должны умножить матрицу \(A^{-1}\) на матрицу \(B\). Результат этого умножения будет являться искомыми матрицами \(x\).
Выполнив перемножение, получаем:
\[ x = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} \frac{1}{22} & 0 & \frac{-9}{22} \\ \frac{-1}{11} & \frac{6}{11} & \frac{-1}{11} \\ \frac{6}{11} & \frac{-1}{11} & \frac{3}{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 7 & 0 \\ 4 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{22} \cdot 7 + 0 \cdot 4 + \frac{-9}{22} \cdot 0 & \frac{1}{22} \cdot 7 + 0 \cdot 3 + \frac{-9}{22} \cdot (-1) & \frac{1}{22} \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + \frac{-9}{22} \cdot (-1) \\ \frac{-1}{11} \cdot 7 + \frac{6}{11} \cdot 4 + \frac{-1}{11} \cdot 0 & \frac{-1}{11} \cdot 7 + \frac{6}{11} \cdot 3 + \frac{-1}{11} \cdot (-1) & \frac{-1}{11} \cdot 0 + \frac{6}{11} \cdot (-1) + \frac{-1}{11} \cdot (-1) \\ \frac{6}{11} \cdot 7 + \frac{-1}{11} \cdot 4 + \frac{3}{22} \cdot 0 & \frac{6}{11} \cdot 7 + \frac{-1}{11} \cdot 3 + \frac{3}{22} \cdot (-1) & \frac{6}{11} \cdot 0 + \frac{-1}{11} \cdot (-1) + \frac{3}{22} \cdot (-1) \end{pmatrix} \]
После вычислений, получаем:
\[ x = \begin{pmatrix} \frac{7}{22} & \frac{8}{22} & \frac{9}{22} \\ \frac{17}{11} & \frac{26}{11} & \frac{9}{11} \\ \frac{34}{11} & \frac{47}{11} & \frac{3}{11} \end{pmatrix} \]
Теперь, чтобы найти количество различных матриц \(x\), мы должны посчитать количество уникальных целочисленных матриц в полученной матрице.
Анализируя полученную матрицу \(x\), мы видим, что в ней есть дробные числа. Однако, задача требует найти только целочисленные матрицы, поэтому необходимо найти рациональные точки данной матрицы и определить их количество.
Мы замечаем, что некоторые числа в матрице \(x\) содержат дробную часть, например, \(\frac{7}{22}\), \(\frac{8}{22}\), \(\frac{17}{11}\) и т.д. Чтобы получить целочисленную матрицу, необходимо, чтобы все числа в матрице \(x\) имели целые значения.
Так как диапазон значений всех элементов матрицы \(x\) составляет от -100000 до 100000, чтобы найти количество возможных различных матриц \(x\), мы должны подсчитать количество рациональных точек в этом диапазоне.
Однако, это задача сложна для ручного решения, и поэтому мы воспользуемся компьютерной программой, чтобы найти количество различных рациональных точек в таком большом диапазоне.
Таким образом, чтобы найти количество различных целочисленных матриц \(x\), удовлетворяющих данному соотношению, необходимо использовать программу или алгоритм, который подсчитает количество рациональных точек в заданном диапазоне или провести численные эксперименты. Заметим, что в данном случае необходимо использование компьютера, так как число возможных матриц может быть очень большим.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
