Найти скалярное произведение векторов (3а + b)(а), когда угол между векторами а и b составляет 120°, и а = b

Для начала давайте выразим векторы a и b через их модули и базисы:

\[a = a \cdot \vec{i} + a \cdot \vec{j} + a \cdot \vec{k}\]
\[b = b \cdot \vec{i} + b \cdot \vec{j} + b \cdot \vec{k}\]

Здесь \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) - это базисные векторы, причем они образуют ортонормированный базис.

У нас есть условия, что угол между векторами a и b составляет 120° и a = b. Из этого следует, что модули векторов также совпадают. Пусть \(a = b = x\).

Теперь заменим векторы a и b в исходной задаче:

\[(3a + b) \cdot a = (3x + x) \cdot x = 4x^2\]

Таким образом, скалярное произведение векторов (3а + b)(а) равно \(4x^2\).

Так как нам дано, что угол между векторами a и b составляет 120°, мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между векторами по их координатам:

\[\cos(\theta) = \frac{{a \cdot b}}{{|a| \cdot |b|}} \Rightarrow \cos(120°) = \frac{{a^2}}{{|a| \cdot |a|}} \Rightarrow \cos(120°) = \frac{{a^2}}{{a^2}}\]

Так как a = b = x, мы можем переписать последнее равенство:

\[\cos(120°) = \frac{{x^2}}{{x^2}}\]

\[\cos(120°) = 1\]

Таким образом, мы видим, что угол между векторами a и b равен 120°.

Итак, скалярное произведение векторов (3а + b)(а) равно \(4x^2\), а угол между векторами a и b равен 120°.

Надеюсь, этот подробный ответ позволяет вам более полно понять решение задачи. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте. Я всегда готов помочь вам!