Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно-малые: lim x->0 ln(1+2x)/tg(2п(x+1/2)
Shustr_9771
Для нахождения предела \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\ln(1+2x)}}{{\tan(2\pi(x+\frac{1}{2}))}}\) с использованием эквивалентных бесконечно-малых, мы можем воспользоваться следующими эквивалентными заменами:
1) \(\ln(1+x) \approx x\) при \(x \to 0\) (эта замена основана на разложении в ряд Тейлора функции \(\ln(1+x)\), оставляя только главное слагаемое)
2) \(\tan(x) \approx x\) при \(x \to 0\) (эта замена основана на разложении в ряд Тейлора функции \(\tan(x)\), оставляя только главное слагаемое)
3) \(\pi\) является константой, поэтому в данной задаче нам не нужно использовать замены для нее.
Применим эти замены к нашей задаче:
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{\ln(1+2x)}}{{\tan(2\pi(x+\frac{1}{2}))}} \approx \lim_{{x \to 0}} \frac{{2x}}{{2\pi(x+\frac{1}{2})}}
\]
Можем упростить выражение, сократив \(2\) в числителе и знаменателе:
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{x}}{{\pi(x+\frac{1}{2})}}
\]
Теперь, чтобы вычислить этот предел, мы можем просто подставить \(x=0\), так как знаменатель не обращается в ноль:
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{x}}{{\pi(x+\frac{1}{2})}} = \frac{{0}}{{\pi(0+\frac{1}{2})}} = 0
\]
Таким образом, предел исходной функции равен \(0\), используя эквивалентные бесконечно-малые.
1) \(\ln(1+x) \approx x\) при \(x \to 0\) (эта замена основана на разложении в ряд Тейлора функции \(\ln(1+x)\), оставляя только главное слагаемое)
2) \(\tan(x) \approx x\) при \(x \to 0\) (эта замена основана на разложении в ряд Тейлора функции \(\tan(x)\), оставляя только главное слагаемое)
3) \(\pi\) является константой, поэтому в данной задаче нам не нужно использовать замены для нее.
Применим эти замены к нашей задаче:
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{\ln(1+2x)}}{{\tan(2\pi(x+\frac{1}{2}))}} \approx \lim_{{x \to 0}} \frac{{2x}}{{2\pi(x+\frac{1}{2})}}
\]
Можем упростить выражение, сократив \(2\) в числителе и знаменателе:
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{x}}{{\pi(x+\frac{1}{2})}}
\]
Теперь, чтобы вычислить этот предел, мы можем просто подставить \(x=0\), так как знаменатель не обращается в ноль:
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{{x}}{{\pi(x+\frac{1}{2})}} = \frac{{0}}{{\pi(0+\frac{1}{2})}} = 0
\]
Таким образом, предел исходной функции равен \(0\), используя эквивалентные бесконечно-малые.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
