Найти доверительный интервал для доли телевизоров, удовлетворяющих стандарту, в партии, содержащей 8000 телевизоров

Для решения данной задачи нам необходимо найти доверительный интервал для доли телевизоров, удовлетворяющих стандарту, в партии.

Для начала, найдем точечную оценку доли \( \hat{p} \) с помощью выборочной пропорции. Выборочная пропорция рассчитывается как отношение числа телевизоров, удовлетворяющих стандарту, к общему числу телевизоров в выборке. В данном случае, из 800 выбранных телевизоров, 10% не удовлетворяют стандарту, следовательно, число телевизоров, удовлетворяющих стандарту, равно 800 - (0.1 * 800) = 720. Таким образом, выборочная пропорция равна:

\[ \hat{p} = \frac{720}{800} = 0.9 \]

Теперь мы можем использовать данную точечную оценку для построения доверительного интервала. В данной задаче требуется найти доверительный интервал с вероятностью 0.95 для повторной и бесповторной выборок. Учитывая большой размер исходной партии телевизоров (8000), мы можем считать выборки независимыми и случайными.

Для повторной выборки (при которой элементы могут выбираться несколько раз) доверительный интервал для доли \( p \) можно найти с помощью формулы Уилсона:

\[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \]

где \( z_{\alpha/2} \) - критическое значение стандартного нормального распределения, соответствующее уровню доверия \( \alpha \). Для вероятности 0.95 значение \( z_{\alpha/2} \) будет равно 1.96.

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[ 0.9 \pm 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.9 \cdot 0.1}{800}} \]

Расчеты дают нам доверительный интервал от 0.882 до 0.918.

Для бесповторной выборки (где элементы выбираются только один раз), доверительный интервал можно найти с помощью формулы Уилсона-Агрести:

\[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n} + \frac{z^2_{\alpha/2}}{4n^2}} \]

где \( z_{\alpha/2} \) - критическое значение стандартного нормального распределения, \( n \) - размер выборки. Для вероятности 0.95 значение \( z_{\alpha/2} \) будет равно 1.96.

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[ 0.9 \pm 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.9 \cdot 0.1}{800} + \frac{1.96^2}{4 \cdot 800^2}} \]

Расчеты дают нам доверительный интервал от 0.881 до 0.919.

Оба доверительных интервала можно представить в виде (нижняя граница, верхняя граница), соответственно:

Для повторной выборки: (0.882, 0.918)
Для бесповторной выборки: (0.881, 0.919)

Таким образом, с вероятностью 0.95 доля телевизоров, удовлетворяющих стандарту, в партии из 8000 телевизоров, будет находиться в указанных доверительных интервалах. Это означает, что мы можем быть довольно уверенными в такой оценке на основании выбранной выборки.