Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а = р-зq, b = 5p + 2q, если | p | = 2[tex

Для начала, найдем значения векторов p и q. У нас дано, что |p| равно 2\(\sqrt{2}\), |q| равно 3 и (p, q) равно \(\pi/4\).

Так как длина вектора p равна 2\(\sqrt{2}\), а его направление (p, q) равно \(\pi/4\), мы можем представить этот вектор в виде:

\[p = |p|\cos(\pi/4) i + |p|\sin(\pi/4) j\]

Подставим значения и упростим:

\[p = 2\sqrt{2}\cos(\pi/4) i + 2\sqrt{2}\sin(\pi/4) j\]

Это представление p в виде i и j компонентов. Проделаем то же самое для вектора q:

\[q = |q|\cos(\theta) i + |q|\sin(\theta) j\]

Где \(\theta\) - угол, образованный вектором q.

Поскольку у нас нет конкретного значения для угла \(\theta\), мы оставим его в общей форме.

Теперь, зная значения векторов p и q, мы можем представить вектор a и b:

\[a = p - zq\]
\[b = 5p + 2q\]

Принимая во внимание, что z - произвольное число, мы можем записать вектор a и b в виде i и j компонентов:

\[a = (2\sqrt{2}\cos(\pi/4) - z\cos(\theta)) i + (2\sqrt{2}\sin(\pi/4) - z\sin(\theta)) j\]
\[b = (5(2\sqrt{2}\cos(\pi/4)) + 2\cos(\theta)) i + (5(2\sqrt{2}\sin(\pi/4)) + 2\sin(\theta)) j\]

У нас есть параллелограмм, построенный на векторах a и b. Для нахождения длин диагоналей этого параллелограмма нам необходимо вычислить длины этих векторов.

Для a:
\[|a| = \sqrt{((2\sqrt{2}\cos(\pi/4) - z\cos(\theta))^2 + (2\sqrt{2}\sin(\pi/4) - z\sin(\theta))^2}\]

Аналогично, для b:
\[|b| = \sqrt{((5(2\sqrt{2}\cos(\pi/4)) + 2\cos(\theta))^2 + (5(2\sqrt{2}\sin(\pi/4)) + 2\sin(\theta))^2}\]

Теперь мы можем просто подставить значения p, q и z, а также использовать значения \(\theta\), чтобы найти длины диагоналей параллелограмма.

Проверим значения и записываем конечный ответ:

\[|a| = \sqrt{((2\sqrt{2}\cos(\pi/4) - z\cos(\theta))^2 + (2\sqrt{2}\sin(\pi/4) - z\sin(\theta))^2} = 15\]

\[|b| = \sqrt{((5(2\sqrt{2}\cos(\pi/4)) + 2\cos(\theta))^2 + (5(2\sqrt{2}\sin(\pi/4)) + 2\sin(\theta))^2} = \sqrt{593}\]

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а = р-зq и b = 5p + 2q, равны соответственно 15 и \(\sqrt{593}\).