Найти длину отрезка FC в треугольнике ABC, где точка D находится на стороне AC равностороннего треугольника ABC

Для решения задачи нам понадобятся некоторые знания о свойствах равносторонних треугольников и треугольников в целом.

Для начала, обратим внимание на свойство равностороннего треугольника — все стороны равны между собой. Поэтому, сторона BC тоже равна 6 см.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник ABC и обозначим координаты точек D, F и K следующим образом:

- A (0,0)
- B (6,0)
- C (3,3√3)
- D (x,y)
- F (x,0)
- K (x+4,y)

Неизвестные координаты D мы определим позже, а пока далее решим задачу.

Обратим внимание, что треугольники ADF и BDK являются прямоугольными, поскольку DF и DK — перпендикуляры к сторонам AC и BC соответственно. Заметим, что в треугольнике ADF у нас уже есть известные значения длин отрезков AD и DF, а в треугольнике BDK известна длина отрезка BD.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы (в данном случае отрезка AF) выражается через длины катетов (в данном случае отрезков AD и DF) по формуле:

\[AF = \sqrt{AD^2 + DF^2}\]

Подставим известные значения:

\[AF = \sqrt{6^2 + x^2}\]

Теперь рассмотрим треугольник BDK. В нем длина катета DK известна и равна 4 см, а неизвестная длина отрезка BK обозначается как (6 - x), так как точка К находится на стороне BC. Применим теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы:

\[BK = \sqrt{BD^2 + DK^2}\]
\[BK = \sqrt{4^2 + (6 - x)^2}\]

Так как у нас есть два выражения для длины отрезка BK, мы можем приравнять их друг другу:

\[\sqrt{6^2 + x^2} = \sqrt{4^2 + (6 - x)^2}\]

Теперь возводим оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[6^2 + x^2 = 4^2 + (6 - x)^2\]
\[36 + x^2 = 16 + (6 - x)^2\]

Раскроем квадрат:

\[36 + x^2 = 16 + 36 - 12x + x^2\]

Сократим схожие слагаемые и перенесем все константы вправо, а все коэффициенты при x влево:

\[12x = 16\]
\[x = \frac{16}{12}\]
\[x = \frac{4}{3}\]

Теперь у нас есть значение x, которое равно \(\frac{4}{3}\). Подставляем этот результат в одно из выражений для длины отрезка AF, чтобы найти его значение:

\[AF = \sqrt{6^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2}\]
\[AF = \sqrt{36 + \frac{16}{9}}\]
\[AF = \sqrt{\frac{324}{9} + \frac{16}{9}}\]
\[AF = \sqrt{\frac{340}{9}}\]

Упростим подкоренное выражение:

\[AF = \frac{\sqrt{340}}{\sqrt{9}}\]
\[AF = \frac{\sqrt{340}}{3}\]

Теперь, чтобы найти длину отрезка FC, нам остается вычесть длину отрезка AF из длины отрезка AC:

\[FC = AC - AF\]
\[FC = 3 + \frac{\sqrt{340}}{3}\]

Таким образом, мы нашли, что длина отрезка FC равна \(3 + \frac{\sqrt{340}}{3}\) см.