Найдите значения x, при которых √(3*cosx+2cos(x-5π/6))=cos2x в интервале [-11π/2 ; -4π].
Чудесная_Звезда
Давайте решим данное уравнение пошагово.
1. Начнем с преобразования уравнения. Для удобства заменим на :
2. Возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
3. Раскроем квадрат справа:
4. Упростим полученное уравнение:
5. Далее воспользуемся формулой для суммы косинусов:
Применяя данную формулу, получаем:
6. Продолжим упрощение:
7. Сгруппируем слагаемые:
8. Заметим, что :
9. Упростим еще раз:
10. Теперь приведем к общему знаменателю:
11. Поменяем местами слагаемые:
12. Перепишем данное уравнение в виде квадратного уравнения:
13. Перенесем все слагаемые на одну сторону:
14. Упростим:
15. Теперь у нас есть полином четвертой степени. Давайте расположим слагаемые в порядке убывания степеней:
16. Упростим выражение:
17. Сгруппируем слагаемые:
18. Далее приведем подобные слагаемые:
19. Умножим всю последнюю обе стороны уравнения на :
20. Используя формулу синуса для суммы углов, заменим на :
21. Раскроем скобки:
22. Упростим:
23. Заметим, что и :
24. Группируем слагаемые:
25. Перепишем уравнение:
26. Упростим:
27. Перенесем все слагаемые на одну сторону:
28. Но нас интересуют значения для которых это уравнение выполняется, поэтому знак "равно" можно заменить знаком "больше или равно":
Итак, мы получили неравенство, для которого нужно найти значения в интервале .
1. Начнем с преобразования уравнения. Для удобства заменим
2. Возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
3. Раскроем квадрат справа:
4. Упростим полученное уравнение:
5. Далее воспользуемся формулой для суммы косинусов:
Применяя данную формулу, получаем:
6. Продолжим упрощение:
7. Сгруппируем слагаемые:
8. Заметим, что
9. Упростим еще раз:
10. Теперь приведем к общему знаменателю:
11. Поменяем местами слагаемые:
12. Перепишем данное уравнение в виде квадратного уравнения:
13. Перенесем все слагаемые на одну сторону:
14. Упростим:
15. Теперь у нас есть полином четвертой степени. Давайте расположим слагаемые в порядке убывания степеней:
16. Упростим выражение:
17. Сгруппируем слагаемые:
18. Далее приведем подобные слагаемые:
19. Умножим всю последнюю обе стороны уравнения на
20. Используя формулу синуса для суммы углов, заменим
21. Раскроем скобки:
22. Упростим:
23. Заметим, что
24. Группируем слагаемые:
25. Перепишем уравнение:
26. Упростим:
27. Перенесем все слагаемые на одну сторону:
28. Но нас интересуют значения
Итак, мы получили неравенство, для которого нужно найти значения
Знаешь ответ?