Найдите значения x, при которых √(3*cosx+2cos(x-5π/6))=cos2x в интервале [-11π/2 ; -4π].
Чудесная_Звезда
Давайте решим данное уравнение пошагово.
1. Начнем с преобразования уравнения. Для удобства заменим \(\cos^2x\) на \(1 - \sin^2 x\):
\[\sqrt{3 \cos x + 2 \cos(x - \frac{5\pi}{6})} = 1 - \sin^2 x\]
2. Возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[3 \cos x + 2 \cos(x - \frac{5\pi}{6}) = (1 - \sin^2 x)^2\]
3. Раскроем квадрат справа:
\[3 \cos x + 2 \cos(x - \frac{5\pi}{6}) = 1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x\]
4. Упростим полученное уравнение:
\[\cos x + \cos(x - \frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}\sin^2 x + \frac{1}{3}\sin^4 x\]
5. Далее воспользуемся формулой для суммы косинусов:
\[\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\]
Применяя данную формулу, получаем:
\[\cos x + (\cos x \cos (\frac{-5\pi}{6}) - \sin x \sin(\frac{-5\pi}{6})) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}\sin^2 x + \frac{1}{3}\sin^4 x\]
6. Продолжим упрощение:
\[\cos x + (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}\sin^2 x + \frac{1}{3}\sin^4 x\]
7. Сгруппируем слагаемые:
\[(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}\sin^2 x + \frac{1}{3}\sin^4 x\]
8. Заметим, что \(\frac{1}{3}\sin^4 x = \frac{2}{3}\sin^2 x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\sin^4 x\):
\[(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{2}{3}\sin^2 x - \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\sin^4 x + \frac{1}{3}\sin^4 x - \frac{1}{3}\]
9. Упростим еще раз:
\[(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{2}{3}\sin^2 x + \frac{1}{3}\sin^4 x - \frac{3}{3}\]
10. Теперь приведем к общему знаменателю:
\[(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{2\sin^2 x + \sin^4 x - 3}{3}\]
11. Поменяем местами слагаемые:
\[(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{\sin^4 x + 2\sin^2 x - 3}{3}\]
12. Перепишем данное уравнение в виде квадратного уравнения:
\[\frac{\sin^4 x + 2\sin^2 x - 3}{3} - (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 0\]
13. Перенесем все слагаемые на одну сторону:
\[\frac{\sin^4 x + 2\sin^2 x - 3}{3} - (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \sin^4 x + 2\sin^2 x - \frac{3}{3} - 3(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x - 3\frac{1}{2} \sin x\]
14. Упростим:
\[\frac{\sin^4 x + 2\sin^2 x - 3}{3} - (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \sin^4 x + 2\sin^2 x - 1 - 3 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{3}{2} \sin x\]
15. Теперь у нас есть полином четвертой степени. Давайте расположим слагаемые в порядке убывания степеней:
\[\sin^4 x + 2\sin^2 x - \sin^4 x - (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x - \frac{1}{2} \sin x - 2\sin^2 x - 3 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{3}{2} \sin x = 0\]
16. Упростим выражение:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{5}{2} \sin x - \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{5}{2} \sin x - 3 = 0\]
17. Сгруппируем слагаемые:
\[-\frac{5\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{10}{2} \sin x - 3 = 0\]
18. Далее приведем подобные слагаемые:
\[-\frac{5\sqrt{3}}{2} \cos x - 5 \sin x - 3 = 0\]
19. Умножим всю последнюю обе стороны уравнения на \(2\):
\[-5\sqrt{3} \cos x - 10 \sin x - 6 = 0\]
20. Используя формулу синуса для суммы углов, заменим \(\sin x\) на \(\sin(x + \frac{\pi}{3})\):
\[-5\sqrt{3} \cos x - 10 \sin(x + \frac{\pi}{3}) - 6 = 0\]
21. Раскроем скобки:
\[-5\sqrt{3} \cos x - 10 (\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3}) - 6 = 0\]
22. Упростим:
\[-5\sqrt{3} \cos x -5 \sin x \cos \frac{\pi}{3} - 5\sqrt{3}\cos \frac{\pi}{3} - 5 \cos x \sin \frac{\pi}{3} - 6 = 0\]
23. Заметим, что \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) и \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[-5\sqrt{3} \cos x -\frac{5}{2} \sin x -\frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{5}{2} \cos x - 6 = 0\]
24. Группируем слагаемые:
\[-\frac{5}{2} (\sqrt{3} \cos x + \sin x + \sqrt{3} + \cos x) - 6 = 0\]
25. Перепишем уравнение:
\[-\frac{5}{2} \cos x (\sqrt{3} + 1) -\frac{5}{2} \sin x - \frac{5}{2} (\sqrt{3} + 1) - 6 = 0\]
26. Упростим:
\[-\frac{5}{2} (\cos x (\sqrt{3} + 1) + \sin x + \sqrt{3} + 1) - 6 = 0\]
27. Перенесем все слагаемые на одну сторону:
\[-\frac{5}{2} (\cos x (\sqrt{3} + 1) + \sin x + \sqrt{3} + 1) + 6 = 0\]
28. Но нас интересуют значения \(x\) для которых это уравнение выполняется, поэтому знак "равно" можно заменить знаком "больше или равно":
\[-\frac{5}{2} (\cos x (\sqrt{3} + 1) + \sin x + \sqrt{3} + 1) + 6 \geq 0\]
Итак, мы получили неравенство, для которого нужно найти значения \(x\) в интервале \([-11\pi/2, \infty)\).
1. Начнем с преобразования уравнения. Для удобства заменим \(\cos^2x\) на \(1 - \sin^2 x\):
\[\sqrt{3 \cos x + 2 \cos(x - \frac{5\pi}{6})} = 1 - \sin^2 x\]
2. Возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[3 \cos x + 2 \cos(x - \frac{5\pi}{6}) = (1 - \sin^2 x)^2\]
3. Раскроем квадрат справа:
\[3 \cos x + 2 \cos(x - \frac{5\pi}{6}) = 1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x\]
4. Упростим полученное уравнение:
\[\cos x + \cos(x - \frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}\sin^2 x + \frac{1}{3}\sin^4 x\]
5. Далее воспользуемся формулой для суммы косинусов:
\[\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\]
Применяя данную формулу, получаем:
\[\cos x + (\cos x \cos (\frac{-5\pi}{6}) - \sin x \sin(\frac{-5\pi}{6})) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}\sin^2 x + \frac{1}{3}\sin^4 x\]
6. Продолжим упрощение:
\[\cos x + (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}\sin^2 x + \frac{1}{3}\sin^4 x\]
7. Сгруппируем слагаемые:
\[(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}\sin^2 x + \frac{1}{3}\sin^4 x\]
8. Заметим, что \(\frac{1}{3}\sin^4 x = \frac{2}{3}\sin^2 x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\sin^4 x\):
\[(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{2}{3}\sin^2 x - \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\sin^4 x + \frac{1}{3}\sin^4 x - \frac{1}{3}\]
9. Упростим еще раз:
\[(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{2}{3}\sin^2 x + \frac{1}{3}\sin^4 x - \frac{3}{3}\]
10. Теперь приведем к общему знаменателю:
\[(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{2\sin^2 x + \sin^4 x - 3}{3}\]
11. Поменяем местами слагаемые:
\[(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{\sin^4 x + 2\sin^2 x - 3}{3}\]
12. Перепишем данное уравнение в виде квадратного уравнения:
\[\frac{\sin^4 x + 2\sin^2 x - 3}{3} - (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 0\]
13. Перенесем все слагаемые на одну сторону:
\[\frac{\sin^4 x + 2\sin^2 x - 3}{3} - (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \sin^4 x + 2\sin^2 x - \frac{3}{3} - 3(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x - 3\frac{1}{2} \sin x\]
14. Упростим:
\[\frac{\sin^4 x + 2\sin^2 x - 3}{3} - (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \sin^4 x + 2\sin^2 x - 1 - 3 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{3}{2} \sin x\]
15. Теперь у нас есть полином четвертой степени. Давайте расположим слагаемые в порядке убывания степеней:
\[\sin^4 x + 2\sin^2 x - \sin^4 x - (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cos x - \frac{1}{2} \sin x - 2\sin^2 x - 3 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{3}{2} \sin x = 0\]
16. Упростим выражение:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{5}{2} \sin x - \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{5}{2} \sin x - 3 = 0\]
17. Сгруппируем слагаемые:
\[-\frac{5\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{10}{2} \sin x - 3 = 0\]
18. Далее приведем подобные слагаемые:
\[-\frac{5\sqrt{3}}{2} \cos x - 5 \sin x - 3 = 0\]
19. Умножим всю последнюю обе стороны уравнения на \(2\):
\[-5\sqrt{3} \cos x - 10 \sin x - 6 = 0\]
20. Используя формулу синуса для суммы углов, заменим \(\sin x\) на \(\sin(x + \frac{\pi}{3})\):
\[-5\sqrt{3} \cos x - 10 \sin(x + \frac{\pi}{3}) - 6 = 0\]
21. Раскроем скобки:
\[-5\sqrt{3} \cos x - 10 (\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3}) - 6 = 0\]
22. Упростим:
\[-5\sqrt{3} \cos x -5 \sin x \cos \frac{\pi}{3} - 5\sqrt{3}\cos \frac{\pi}{3} - 5 \cos x \sin \frac{\pi}{3} - 6 = 0\]
23. Заметим, что \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) и \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[-5\sqrt{3} \cos x -\frac{5}{2} \sin x -\frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{5}{2} \cos x - 6 = 0\]
24. Группируем слагаемые:
\[-\frac{5}{2} (\sqrt{3} \cos x + \sin x + \sqrt{3} + \cos x) - 6 = 0\]
25. Перепишем уравнение:
\[-\frac{5}{2} \cos x (\sqrt{3} + 1) -\frac{5}{2} \sin x - \frac{5}{2} (\sqrt{3} + 1) - 6 = 0\]
26. Упростим:
\[-\frac{5}{2} (\cos x (\sqrt{3} + 1) + \sin x + \sqrt{3} + 1) - 6 = 0\]
27. Перенесем все слагаемые на одну сторону:
\[-\frac{5}{2} (\cos x (\sqrt{3} + 1) + \sin x + \sqrt{3} + 1) + 6 = 0\]
28. Но нас интересуют значения \(x\) для которых это уравнение выполняется, поэтому знак "равно" можно заменить знаком "больше или равно":
\[-\frac{5}{2} (\cos x (\sqrt{3} + 1) + \sin x + \sqrt{3} + 1) + 6 \geq 0\]
Итак, мы получили неравенство, для которого нужно найти значения \(x\) в интервале \([-11\pi/2, \infty)\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
