Найдите значения x, при которых √(3*cosx+2cos(x-5π/6))=cos2x в интервале [-11π/2

Найдите значения x, при которых √(3*cosx+2cos(x-5π/6))=cos2x в интервале [-11π/2 ; -4π].
Чудесная_Звезда

Чудесная_Звезда

Давайте решим данное уравнение пошагово.

1. Начнем с преобразования уравнения. Для удобства заменим cos2x на 1sin2x:

3cosx+2cos(x5π6)=1sin2x

2. Возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

3cosx+2cos(x5π6)=(1sin2x)2

3. Раскроем квадрат справа:

3cosx+2cos(x5π6)=12sin2x+sin4x

4. Упростим полученное уравнение:

cosx+cos(x5π6)=1323sin2x+13sin4x

5. Далее воспользуемся формулой для суммы косинусов:

cos(a+b)=cosacosbsinasinb

Применяя данную формулу, получаем:

cosx+(cosxcos(5π6)sinxsin(5π6))=1323sin2x+13sin4x

6. Продолжим упрощение:

cosx+(32cosx+12sinx)=1323sin2x+13sin4x

7. Сгруппируем слагаемые:

(1+32)cosx+12sinx=1323sin2x+13sin4x

8. Заметим, что 13sin4x=23sin2x13+13sin4x:

(1+32)cosx+12sinx=23sin2x23+13sin4x+13sin4x13

9. Упростим еще раз:

(1+32)cosx+12sinx=23sin2x+13sin4x33

10. Теперь приведем к общему знаменателю:

(1+32)cosx+12sinx=2sin2x+sin4x33

11. Поменяем местами слагаемые:

(1+32)cosx+12sinx=sin4x+2sin2x33

12. Перепишем данное уравнение в виде квадратного уравнения:

sin4x+2sin2x33(1+32)cosx12sinx=0

13. Перенесем все слагаемые на одну сторону:

sin4x+2sin2x33(1+32)cosx12sinx=sin4x+2sin2x333(1+32)cosx312sinx

14. Упростим:

sin4x+2sin2x33(1+32)cosx12sinx=sin4x+2sin2x13332cosx32sinx

15. Теперь у нас есть полином четвертой степени. Давайте расположим слагаемые в порядке убывания степеней:

sin4x+2sin2xsin4x(1+32)cosx12sinx2sin2x3332cosx32sinx=0

16. Упростим выражение:

32cosx52sinx332cosx52sinx3=0

17. Сгруппируем слагаемые:

532cosx102sinx3=0

18. Далее приведем подобные слагаемые:

532cosx5sinx3=0

19. Умножим всю последнюю обе стороны уравнения на 2:

53cosx10sinx6=0

20. Используя формулу синуса для суммы углов, заменим sinx на sin(x+π3):

53cosx10sin(x+π3)6=0

21. Раскроем скобки:

53cosx10(sinxcosπ3+cosxsinπ3)6=0

22. Упростим:

53cosx5sinxcosπ353cosπ35cosxsinπ36=0

23. Заметим, что cosπ3=12 и sinπ3=32:

53cosx52sinx53252cosx6=0

24. Группируем слагаемые:

52(3cosx+sinx+3+cosx)6=0

25. Перепишем уравнение:

52cosx(3+1)52sinx52(3+1)6=0

26. Упростим:

52(cosx(3+1)+sinx+3+1)6=0

27. Перенесем все слагаемые на одну сторону:

52(cosx(3+1)+sinx+3+1)+6=0

28. Но нас интересуют значения x для которых это уравнение выполняется, поэтому знак "равно" можно заменить знаком "больше или равно":

52(cosx(3+1)+sinx+3+1)+60

Итак, мы получили неравенство, для которого нужно найти значения x в интервале [11π/2,).
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello