Найдите значения коэффициентов разложения x, y и z, если AK=x*AB+y*AD+z*AA1

Дано, что точка K лежит на отрезке AA1. Наша задача - найти значения коэффициентов разложения \(x, y\) и \(z\), чтобы точка K была представлена в виде \(AK = x \cdot AB + y \cdot AD + z \cdot AA1\).

Чтобы найти коэффициенты разложения, воспользуемся координатами точек. Предположим, что координаты точки A равны \((x_A, y_A)\), координаты точки B равны \((x_B, y_B)\), а координаты точки D равны \((x_D, y_D)\).

Для удобства, обозначим координаты точки K как \((x_K, y_K)\).

Обратите внимание, что векторы AB, AD и AA1 можно представить в виде:

\[
\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)
\]

\[
\overrightarrow{AD} = (x_D - x_A, y_D - y_A)
\]

\[
\overrightarrow{AA1} = (x_{A1} - x_A, y_{A1} - y_A)
\]

Подставим значения в исходное уравнение:

\((x_K - x_A, y_K - y_A) = x \cdot (x_B - x_A, y_B - y_A) + y \cdot (x_D - x_A, y_D - y_A) + z \cdot (x_{A1} - x_A, y_{A1} - y_A)\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\((x_K - x_A, y_K - y_A) = (x \cdot (x_B - x_A) + y \cdot (x_D - x_A) + z \cdot (x_{A1} - x_A), x \cdot (y_B - y_A) + y \cdot (y_D - y_A) + z \cdot (y_{A1} - y_A))\)

Получаем систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x_K - x_A = x \cdot (x_B - x_A) + y \cdot (x_D - x_A) + z \cdot (x_{A1} - x_A) \\
y_K - y_A = x \cdot (y_B - y_A) + y \cdot (y_D - y_A) + z \cdot (y_{A1} - y_A)
\end{cases}
\]

Решим данную систему уравнений для \(x, y\) и \(z\).

Осуществим разложение каждой координаты:

\[
\begin{cases}
x_K - x_A = x \cdot (x_B - x_A) + y \cdot (x_D - x_A) + z \cdot (x_{A1} - x_A) \\
y_K - y_A = x \cdot (y_B - y_A) + y \cdot (y_D - y_A) + z \cdot (y_{A1} - y_A)
\end{cases}
\]

Раскроем скобки:

\[
\begin{cases}
x_K - x_A = x \cdot x_B - x \cdot x_A + y \cdot x_D - y \cdot x_A + z \cdot x_{A1} - z \cdot x_A \\
y_K - y_A = x \cdot y_B - x \cdot y_A + y \cdot y_D - y \cdot y_A + z \cdot y_{A1} - z \cdot y_A
\end{cases}
\]

Вынесем общие слагаемые за скобки:

\[
\begin{cases}
x_K - x_A = (x_B - x_A) \cdot x + (x_D - x_A) \cdot y + (x_{A1} - x_A) \cdot z \\
y_K - y_A = (y_B - y_A) \cdot x + (y_D - y_A) \cdot y + (y_{A1} - y_A) \cdot z
\end{cases}
\]

Распишем координаты точки K:

\[
\begin{cases}
x_K = x_A + (x_B - x_A) \cdot x + (x_D - x_A) \cdot y + (x_{A1} - x_A) \cdot z \\
y_K = y_A + (y_B - y_A) \cdot x + (y_D - y_A) \cdot y + (y_{A1} - y_A) \cdot z
\end{cases}
\]

Таким образом, значения коэффициентов разложения \(x, y\) и \(z\) равны:

\[
\begin{align*}
x &= \frac{x_K - x_A}{x_B - x_A} \cdot 1 + \frac{y_K - y_A}{x_D - x_A} \cdot 1 + \frac{z_K - z_A}{x_{A1} - x_A} \cdot (-1) \\
y &= \frac{x_K - x_A}{y_B - y_A} \cdot 1 + \frac{y_K - y_A}{y_D - y_A} \cdot 1 + \frac{z_K - z_A}{y_{A1} - y_A} \cdot (-1) \\
z &= 1 - x - y
\end{align*}
\]

Где \(x_K, y_K\) - координаты точки K, \(x_A, y_A\) - координаты точки A, \(x_B, y_B\) - координаты точки B, \(x_D, y_D\) - координаты точки D, \(x_{A1}, y_{A1}\) - координаты точки A1.

Данное решение даст значения коэффициентов разложения x, y и z для задачи. Пожалуйста, учтите, что я привел все необходимые выкладки и поэтапные действия, чтобы ответ был понятен школьнику. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать их!