Найдите значения b, при которых уравнение окружности x^2 + y^2 = 81 пересекается с уравнением прямой y = b. (Запишите

Для определения значений b, при которых уравнение окружности \(x^2 + y^2 = 81\) пересекается с уравнением прямой \(y = b\), нужно найти точки пересечения двух графиков.

Для начала, подставим уравнение прямой \(y = b\) в уравнение окружности:

\[x^2 + (b)^2 = 81\]

Раскроем скобку и приведем уравнение к квадратичному виду:

\[x^2 + b^2 = 81\]

Теперь необходимо решить это квадратное уравнение относительно x. Вычитаем \(b^2\) из обеих сторон:

\[x^2 = 81 - b^2\]

Чтобы найти значения x, возьмем квадратные корни от обоих частей уравнения:

\[x = \pm \sqrt{81 - b^2}\]

Однако, чтобы найти точки пересечения, мы должны учитывать, что y также должно быть равно b. Таким образом, мы можем записать две пары точек пересечения:

\[(\sqrt{81 - b^2}, b)\]
\[(-\sqrt{81 - b^2}, b)\]

Теперь нужно определить значение b, при котором эти точки пересечения существуют. Окружность \(x^2 + y^2 = 81\) представляет собой круг с радиусом 9 и центром в начале координат. Точки пересечения возможны только тогда, когда прямая \(y = b\) проходит через этот круг.

Если \(b > 9\) или \(b < -9\), прямая проходит за пределы круга и не пересекает его. Поэтому:

\[b \leq -9 \quad \text{или} \quad b \geq 9\]

Если \(-9 \leq b \leq 9\), то прямая пересекает окружность в двух точках:

\[(\sqrt{81 - b^2}, b) \quad \text{и} \quad (-\sqrt{81 - b^2}, b)\]

Таким образом, значения b, при которых уравнение окружности пересекается с уравнением прямой, могут быть записаны следующим образом:

\[b \leq -9, \quad -9 \leq b \leq 9, \quad \text{или} \quad b \geq 9\]