Найдите значение объема производства, при котором прибыль фирмы достигает максимального значения, учитывая, что цена

Чтобы найти значение объема производства, при котором прибыль фирмы достигает максимального значения, нам необходимо определить функцию прибыли и найти ее максимум.

Для начала, определим функцию прибыли. Прибыль вычисляется как разница между выручкой и издержками. Выручка равна произведению цены продукции на объем производства, то есть \( P(Q) = 3Q \), где \( Q \) - объем производства.

Издержки фирмы заданы функцией \( TC(Q) = \frac{1}{2}Q^2 + Q \), где \( Q \) - объем производства.

Теперь объединим эти две функции, чтобы найти функцию прибыли. \( Profit(Q) = P(Q) - TC(Q) \):
\[ Profit(Q) = 3Q - \left(\frac{1}{2}Q^2 + Q\right) = 3Q - \frac{1}{2}Q^2 - Q = - \frac{1}{2}Q^2 + 2Q \]

Теперь, чтобы найти объем производства, при котором прибыль фирмы достигает максимального значения, необходимо найти максимум функции прибыли. Мы можем сделать это, найдя вершину параболы, которую представляет собой график функции прибыли. Для этого воспользуемся формулой для координаты вершины \( Q = -\frac{b}{2a} \), где \( a \) и \( b \) - коэффициенты при \( Q^2 \) и \( Q \) соответственно.

В нашем случае, уравнение функции прибыли имеет вид \( - \frac{1}{2}Q^2 + 2Q \), поэтому \( a = -\frac{1}{2} \) и \( b = 2 \). Подставим значения в формулу для координаты вершины:
\[ Q = -\frac{2}{2(-\frac{1}{2})} = -\frac{2}{-1} = 2 \]

Таким образом, значение объема производства, при котором прибыль фирмы достигает максимального значения, равно 2.

Чтобы определить прибыль, получаемую на одну единицу продукции при данном объеме производства, мы подставляем найденное значение \( Q = 2 \) в функцию прибыли:
\[ Profit(2) = - \frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) = -2 + 4 = 2 \]

Таким образом, прибыль, получаемая на одну единицу продукции при объеме производства равном 2, составляет 2 денежные единицы.