Найдите значение квадрата косинуса угла между ребром SC и высотой основания AA1 в SABC — правильной треугольной

Для начала, давайте разберемся с определениями и свойствами правильной треугольной пирамиды.

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является правильным треугольником, то есть треугольником, у которого все стороны и углы равны. В нашем случае, основание треугольника SABC - правильный треугольник со стороной равной \(5 - \sqrt{3}\).

Теперь, нам нужно найти косинус угла между ребром SC и высотой основания AA1.

Для этого воспользуемся определением косинуса угла. Косинус угла между двумя векторами вычисляется, как произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними:

\[ \cos\theta = \frac{{\vec{u} \cdot \vec{v}}}{{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}} \]

где \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) - это векторы, задающие ребро SC и высоту AA1 соответственно.

В нашем случае, длина ребра SC равна \(5 - \sqrt{3}\), а длина высоты AA1 равна \(3\). Таким образом, наша задача сводится к вычислению косинуса угла между векторами \(\vec{u} = (5 - \sqrt{3})\) и \(\vec{v} = 3\).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta\)

\((5 - \sqrt{3}) \cdot 3 = (5 - \sqrt{3}) \cdot 3 \cdot \cos\theta\)

\(15 - 3\sqrt{3} = 15 - 3\sqrt{3} \cdot \cos\theta\)

Теперь избавимся от лишних членов и найдем значение косинуса угла \(\theta\):

\(1 = \cos\theta\)

Таким образом, значение косинуса угла между ребром SC и высотой основания AA1 в правильной треугольной пирамиде SABC равно 1.

Мы получили, что косинус угла \(\theta\) равен 1. Это означает, что угол \(\theta\) равен \(0^\circ\), то есть ребро SC и высота основания AA1 являются параллельными.