Найдите значение косинуса ∡ t треугольника ptc, если известны координаты его вершин: p(1; 0; -2) ; t(0; 2; 0) ; c(-3

Для решения данной задачи нам необходимо найти значение косинуса угла ∡ t треугольника ptc. Для начала, давайте построим векторы \(\overrightarrow{pt}\) и \(\overrightarrow{pc}\) с помощью заданных координат.

Вектор \(\overrightarrow{pt}\) можно найти, вычтя координаты точки t из координат точки p:

\[\overrightarrow{pt} = \overrightarrow{t} - \overrightarrow{p} = (0 - 1, 2 - 0, 0 + 2) = (-1, 2, 2)\]

Аналогично, вектор \(\overrightarrow{pc}\) можно найти, вычтя координаты точки c из координат точки p:

\[\overrightarrow{pc} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{p} = (-3 - 1, 0 - 0, -2 - (-2)) = (-4, 0, 0)\]

Теперь, найдём значение косинуса угла между этими двумя векторами с помощью формулы:

\[\cos(\angle t) = \frac{\overrightarrow{pt} \cdot \overrightarrow{pc}}{\|\overrightarrow{pt}\| \cdot \|\overrightarrow{pc}\|}\]

где \(\overrightarrow{pt} \cdot \overrightarrow{pc}\) представляет скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{pt}\) и \(\overrightarrow{pc}\), а \(\|\overrightarrow{pt}\|\) и \(\|\overrightarrow{pc}\|\) - их длины соответственно.

Вычислим значения для нашей задачи:

\[\overrightarrow{pt} \cdot \overrightarrow{pc} = (-1) \cdot (-4) + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 4\]
\[\|\overrightarrow{pt}\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\]
\[\|\overrightarrow{pc}\| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 0 + 0} = \sqrt{16} = 4\]

Тогда, подставляем полученные значения в формулу:

\[\cos(\angle t) = \frac{4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

Таким образом, значение косинуса угла ∡ t треугольника ptc равно \(\frac{1}{3}\).